Паралельне проектування.

Паралельне проектування.

Для зображення просторових фігур на площині часто використовують паралельне проектування. Розглянемо цей спосіб зображення фігур.

Нехай α - деяка площина, а l - пряма, яка перетинає цю площину (мал. 386). Необхідно зобразити на площині α фігуру F₀, яка не належить площині.

Для цього проведемо через довільну точку А₀ фігури F₀ пряму, паралельну l. Точка А перетину цієї прямої з площиною α буде зображенням точки А₀. Побудувавши запропонованим способом зображення кожної точки фігури F₀, дістанемо фігуру F - зображення фігури F₀ на площині α.

При цьому точку А називають паралельною проекцією точки А₀ на площині α, а фігуру F - паралельною проекцією фігури F₀ на площині α. Кажуть також, що фігуру F отримали з фігури F₀за допомогою паралельного проектування.

Пряму l називають проектуючою прямою, а площину α - площиною проекції.

За допомогою паралельного проектування можна зобразити на площині як плоскі фігури (пряму, відрізок, трикутник тощо), так і просторові (піраміду, куб тощо). Уявлення про проектне проектування просторової фігури - куба можна дістати, якщо взяти каркас куба, зроблений, наприклад, із дроту, помістити його перед екраном і освітити проектором (мал. 387).

 Властивості проектування.

Сформулюємо основні властивості паралельного проектування за умови, що відрізки та прямі, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій l.

1) Проекцією прямої є пряма (мал. 388).

2) Проекцією відрізка є відрізок (мал. 389).

3) Проекції паралельних відрізків - паралельні відрізки (мал. 390) або відрізки, що належать одній прямій (мал. 391).

4) Проекції паралельних прямих паралельні або збігаються.

5) Відношення довжин відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігаються, тобто дорівнюють відношенням довжин своїх проекцій.

На малюнку 392 відрізки А₀С₀ і С₀В₀ - відрізки однієї прямої, АС і СВ - їх відповідні проекції. За властивістю маємо 

На цьому ж малюнку А₀В₀ || D₀Е₀, тоді  де DЕ - паралельна проекція відрізкаD₀Е₀ на площину α.

З останньої властивості слідує, що середина відрізка проектується в середину його проекції.

Надалі розглянемо деякі приклади зображень плоских фігур (за умов, що площини цих фігур не паралельні проектуючій прямій), що ґрунтуються на властивостях паралельного проектування.