Ознака прямої, перпендикулярної до площини.

 Означення прямої, перпендикулярної до площини.

Пряму, що перетинає площину, називають перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину (мал.407).

Говорять також, що площина перпендикулярна до прямої, або пряма і площина взаємно перпендикулярні.

Це записують так: а  α або α  а.

Ознака перпендикулярності прямої і площини.

Важливою є ознаки перпендикулярності прямої і площини: якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, які проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

На малюнку 408: b  α, М  а₁, а₁  α; b  а₁, М  а₂, а₂  α, b  а₂.

Тоді за ознакою матимемо b  α.

Маємо наслідок з цієї ознаки: пряма, перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, перпендикулярна до площини, що проходить через ці прямі.

Приклад. Через точку Р, що лежить поза площиною трикутника АВС, проведено пряму АР, перпендикулярну до прямих АВ і АС. Пряма АК лежить у площині трикутника АВС. Встановіть взаємне розміщення прямих АР і АК.

Розв’язання. 1) За умовою АР  АВ і АР  АС (мал. 409).

Тому за ознакою перпендикулярності прямої і площини отримаємо: АР  АВС.

2) Оскільки АР  АВС, то пряма АР перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині ∆АВС і проходить через точку А, зокрема, до прямої АК. Отже АР  АК.

Означення перпендикуляра, похилої та проекції похилої на площину.

Розглянемо площину α і точку А, що не лежить на цій площині (мал. 411).

Перпендикуляром, проведеним із даної точки до даної площини, називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

На малюнку 411: АН - перпендикуляр, опущений з точки А до площини α. Кінець цього перпендикуляра, що лежить у площині α, - точку Н називають основою перпендикуляра.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

На малюнку 411 довжина відрізка АН — відстань від точки А до площини α.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром.

На малюнку 411 АК - похила, проведена з точки А до площини α. Кінець цієї похилої, що лежить у площині α, - точку К - називають основою похилої. Відрізок НК, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, називають проекцією похилої АК на площину α.

Задачі з ТЕМи «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ У ПРОСТОРІ»

Самостійна робота

   Варіант-1

1.До площини трикутника АВС, сторони якого АВ=8 см, АС=15 см, а кут між ними 120⁰, побудовано перпендикуляр АD = 42 см. Знайдіть відстань від точки D до середини сторони ВС.

2. Через вершину А прямокутного трикутника трикутника АВС проходить площина b, яка паралельна гіпотенузі  ВС і віддалена від неї  на 24 см. Знаючи, що ВС=50, а проекція катетів на площину b відносять, як 9:16, знайдіть площу трикутника АВС.

Самостійна робота               

Варіант-2

1.У прямокутному паралелепіпеді АВСDА₁В₁С₁D₁ основа АВСD – квадрат. Точка К ділить відрізок АС у відношенні 1:3 , починаючи від вершини А. Виконайте:

а) Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що містить точку  К і перпендикулярна до площин АВС і АА₁С;

б) знайдіть площу утвореного перерізу, якщо АС₁ = 4(6)^0,5, ВС = 4 см.

2. У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁  побудуйте спільний перпендикуляр до прямих АА₁  і BD₁. Знайдіть відстань між цими, якщо ребро куба дорівнює а.

Самостійна робота           

Варіант-3

1.    У прямокутному паралелепіпеді  АВСDА₁В₁С₁D₁  бічна грань АА₁ і СС₁  - квадрат. Точка М ділить відрізок D_1.

2.    А) Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що містить точку М і перпендикуляра до площини ВСД₁ і DСС₁;

3.    Б)  знайдіть площу утвореного перерізу, якщо DD₁ = 6 см, ВD₁ = 88^0,5 см.

1.  Дано куб АВСDА₁В₁С₁. Побудуйте спільний перпендикуляр до прямих А₁D і В₁С₁ . Знайдіть відстань між цими прямими, якщо ребро куба дорівнює а.

Самостійна робота         

Варіант-4

1.    У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ діагональ АС₁ дорівнює 2(3)^0,5 . Точки М,Н і Р – середини відповідно до ребер.

а) Побудуйте переріз куба площиною МНР;

б) знайдіть периметр перерізу куба площиною МНР.

2.    У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ спільний перпендикуляр до прямих.Знайдіть відстан між цими прямими, якщо ребро куба дорівнює а.

Контрольна робота

Варіант -1

1.      Точка А лежить у площині, а точка В лежить на відстані 12,5 м від цієї площини. Знайдіть відстань від площини до точки М, що ділить АВ у відношенні АМ:МВ=2:3.

2.      Якої довжини потрібно взяти перекладку, щоб її можна було покласти  кінцями на дві вертикальні опори висотою 4 м і 8 м, що стоять на відстані 3 м одна від одної?

3.      З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 6 см довша за другу. Проекції похилих дорівнюють 17 см і 7 см. Знайдіть похилі.

4.      У вершині квадрата ABCD проведено перпендикуляр АЕ до його площини. Чому дорівнює відстань від точки Е до прямої BD, якщо  АЕ = 2 дм, АВ = 8 дм ?

5.      Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновіддалених від  вершини даного трикутника.

Контрольна робота

Варіант -2

1.      Відрізок АВ не перетинає площину. Точка А віддалена від неї на 2,5 м, а середина відрізка АВ- на 3 м. Знайдіть відстань від точки В до площини.

2.      Відрізок АВ=5 см, не має спільних точок з площиною a. Прямі АС і ВD, перпендикулярні до цієї площини, перетинають її відповідно у точках   С і D. Знайдіть BD, якщо  СD=3 см , АС=17 см, ВD<АС.

3.      З точки М до площини проведено  дві похилі завдовжки 25 см і 40 см. Знайдіть відстань від точки М до площини,знаючи, що сума проекцій похилих дорівнює 39 см.

4.      Катети АВ=8 см і АС=14 см перпендикулярні до прямої АМ, на якій позначено таку точку D, що AD=4 см. Знайдіть відстань від точки D до середини гіпотенузи трикутника АВС.    

Контрольна робота

Варіант -3

1.Чотири  точки    A, B, C, D  не лежить в одній  площині.   Точки M, N середина відрізка AB і  BC, а точка P і K- середина відрізків AD і DC.  Порівняйте довжини відрізків MN і PK.

2.Площина, паралельна  стороні  AB трикутник ABC,  перетинає сторону AC у точці A₁,  а сторона BC у точці  B₁.  Знайдіть довжину відрізка СА, якщо СА₁ =3см, А₁В₁ =7см, АВ= 21см.

3. З точки, віддаленої від площини на 4(2)^0,5 см, проведено дві похилі, які утворюються з площиною кути 45 градусів, а між собою ‒ 60 градусів. Знайдіть відстань між основними похилими.