Паралельність площин. Властивості паралелльних площин

Паралельність площин.

1. Дві площини називають паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

На малюнку 381 площини α і β паралельні, це позначають так: α || β.

Важливою є ознаки паралельності площин:

1. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

На малюнку 382: а  α; b  α;  За ознакою паралельності площин зробимо висновок про те, що α || β.

Наслідок. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини паралельні іншій, то площини паралельні.

2. Дві площини, паралельні третій, паралельні між собою.

Також випливає наступна теорема.

Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну другій, і до того ж тільки одну.

Властивості паралельних площин.

Розглянемо дві властивості паралельних площин.

1) Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі перетину паралельні.

На малюнку 383  Тоді за властивістю а || b.

2) Відрізки паралельних прямих, кінці яких належать двом паралельним площинам, рівні між собою.

На малюнку 384 А₂  β, В₂  b, В₂  β. Тоді за властивістю А₁А₂ = В₁В₂.

Зауважимо, що на малюнку 384 чотирикутник А₁В₁B₂A₂ є паралелограмом.

Приклад 1. Відрізки А₁А₂ і В₁В₂ паралельних прямих а і b містяться між паралельними площинами α і β. (мал. 384). Знайти: 1) А₁А₂, якщо В₁В₂ = 5 см; 2) A₂A₁B₁, якщо A₁A₂B₂ ==100°.

Розв’язання. Оскільки А₁А₂В₂В₁ - паралелограм, то А₁А₂ = В₁В₂ = 5 см; A₂A₁B₁ = 180° - 100° = 80°.

Приклад 2. Площини α і β паралельні. Через точку К, яка лежить між площинами, проведено прямі а і b, які перетинають площину α у точках А₁ і В₁, площину β - у точках А₂ і В₂ (мал. 385). Знайти довжину відрізка А₂В₂, якщо А₁В₁ = 6; КА₁ = 8; КА₂ = 4.

Розв’язання. 1) Проведемо через прямі А₁А₂ і В₁В₂, що перетинають площину. Ця площина перетинає площину α по прямій А₁В₁, а площину β - по прямій А₂В₂.

2) За властивістю паралельних площин маємо А₁В₁ ll А₂В₂.

3) В₁А₁А₂ =  А₁А₂В₂ (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих А₁В₁ і А₂В₂ та січній А₁А₂).

4) A₁B₁B₂ = B₁B₂A₂ (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих А₁В₁ і А₂В₂ та січній В₁В₂).

5) Тому ∆КА₁В₁  ∆КА₂В₂ (за двома кутами) і  А₂В₂ = 3.





ЗАДАЧІ  З ГЕОМЕТРІЇ 10-11 клас

1.     Дано n точок. Довести, що існує площина, яка не проходе через ці точки.

2.     Довести, що існує скільки завгодно площин,  що проходять через дану: а)точку; б) відрізок;  в) пряму; г)промінь.

3.     Довести, що існує скільки завгодно площин,  що не перетинають дану: а)точку; б) відрізок; в) пряму; г)промінь.

4.     Довести, що існує скільки завгодно площин,  що перетинають дану площину.

5.     Довести, що існує скільки завгодно площин,  що паралельні  площині даного трикутника.

6.     Довести, що не існує у просторі паралелограма,  діагоналі якого не перетинаються.

7.     Довести, що не існує у просторі ромба,  на чотирьох вершинах якого побудовано тетраедр.

8.     Довести, що існує скільки завгодно прямих у просторі,  що проходять через дану точку, яка лежить  поза межами площини  і паралельні даній площині.

9.     Довести, що існує скільки завгодно точок у просторі,  що жодні чотири із них не лежать в одній площині.

10.                       Довести, що існує скільки завгодно точок у просторі,  що всі відстані між ними різні.

11.                       На яку найбільшу кількість частин можуть розбити простір а) дві площини; б) три площини; в) чотири площини; г) n площин?