Прямокутна система координат у просторі

Прямокутна система координат у просторі. Координати точки.

Проведемо через точку О простору три попарно перпендикулярні прямі х, у, z (мал. 515). На кожній з прямих виберемо напрям, який позначимо стрілочкою та одиницю вимірювання. Таким чином задають прямокутну систему координат у просторі. Точку О називають початком координат, а прямі з вибраними напрямками осями координат (або координатними осями). Вісь х називають віссю абсцис, вісь у - віссю ординат, вісь z - віссю аплікат. Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі - додатну (яку позначають стрілочкою) і від’ємну. Площини, які проходять відповідно через осі координат х і у, у і z, х і z називають координатними площинами ху, уz, хz.

В прямокутній системі координат у просторі кожній точці М простору ставиться у відповідність єдина впорядкована трійка чисел, а кожній впорядкованій трійці чисел - єдина точка простору. Цю трійку чисел називають координатами точки. Визначаються вони аналогічно координатам точки на площині.

Проведемо через точку М площину, перпендикулярну до осі х (мал. 516). Вона перетинає вісь х в точці М_x. Координатою х точки М (абсцисою точки М) називають число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині відрізка ОМ_x; додатне, якщо точка М_х лежить на додатній півосі х і від’ємне, якщо вона лежить на від’ємній півосі. Якщо ж точка М збігається з точкою О, то вважаємо, що абсциса точки М дорівнює О.

Проведемо площини, перпендикулярні осям у і z, які перетинають ці вісі в точках М_y і М_zвідповідно. Аналогічно до координати х точки М визначаються координата у точки М (ординати точки М) і координата z точки М (апліката точки М).

Особливості розташування точок у просторі.

Якщо точка належить осі координат або координатній площині, то деякі її координати дорівнюють нулю. Обернене твердження також вірне: якщо деякі координати точки дорівнюють нулю, то вона належить осі координат або координатній площині.

Наступна таблиця подає залежить між рівністю нулю деяких координат точки і особливістю її розташування.

Які з координат точки А(х; у; z) дорівнюють нулю	Координати точки	Особливості розташування точки
у і z	А(х; 0; 0)	Належить осі х
х і z	А(0; у; 0)	Належить осі у
x і у	А(0; 0; z)	Належить осі z
z	А(х; у; 0)	Належить площині ху
y	А(х; 0; z)	Належить площині хz
x	А(0; у; z)	Належить площині уz

Приклад 1. Які з точок А(2; 0; 3), В(-1; 0; 0), С(0; 2; -7), D(0; 0; 7), М(4; -1; 3), К(0; 1; 2),L(0; 4; 0) належать координатним осям? Вкажіть яким саме.

Розв’язання. Точка В(-1; 0; 0) належить осі х; точка D(0; 0; 7) - осі z, точка L(0; 4; 0) - осі у.

3адачі з теми «ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ У ПРОСТОРІ»

1 рівень

1.а) Дано точки А(5;-6;0), В(7;0;-4), С(-2;3;0), D(0;5;-2). Які з цих точок лежать у площині xy?

      б) Дано точки А(-2;3;7), В(0;5;-2), С(4;0;-2), D(0;6;7). Які з цих точок лежать у площині yz?

2.а) Дано точки А(4;0;1),  В(0;7;0),   С(6;2;0),  D(0;-3;0). Які з цих точок лежать на осі 0y?

      б) Дано точки А(5;-4;0), В(7;0;0), С(0;0;2), D(3;0;-2). Які з цих точок лежать на осі 0y?

3.a) Обчислити відстань між точками А(0;6;8) і В(3;2;-4)
      б) Обчислити відстань між точками С(3;4;-9) і D(6;0;3)

4. Обчислити координати точки С – середини відрізків АВ, якщо:
   а) А(6;-10;5) і В(8;-8;-5);     б) А(0;-2;-4) і В(6;4;2).

5.а) Дано точку А(3;5;-7). Записати координати точки A’, яка симетрична точці А відносно площини xy.
      б) Дано точку А(4;-2;-3). Записати координати точки A’, яка симетрична точці А відносно площини xz.
6. а) Дано точку А(5;-3;4). Записати координати точки A’, яка симетрична точці А відносно початку координат.
      б) Дано точку А(-4;5;-3). Записати координати точки A’, яка симетрична точці А відносно початку координат.

7.а) АВ – похила, АС – перпендикуляр до площини α. Вказати кут між прямою АВ і площиною α.

     Б) Дано куб  ABCDA₁B₁C₁D₁. Вказати кути нахилу прямих A₁D, B₁D і С₁D до площини АВС.

8.а) Площина α проходить через сторону АС рівностороннього трикутника АВС. ВК – перпендикуляр до площини α (мал..34). Побудувати кут між площинами АВС і α.
      б) Площина α проходить через катет GB прямокутного трикутника АВС (ÐC=90°). AO –перпендикуляр до площини α (мал.35).  Побудувати кут між площинами АВС і α.