Означення перпендикуляра, похилої та проекції

Означення перпендикуляра, похилої та проекції похилої на площину.

Розглянемо площину α і точку А, що не лежить на цій площині (мал. 411).

Перпендикуляром, проведеним із даної точки до даної площини, називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

На малюнку 411: АН - перпендикуляр, опущений з точки А до площини α. Кінець цього перпендикуляра, що лежить у площині α, - точку Н називають основою перпендикуляра.

Відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

На малюнку 411 довжина відрізка АН — відстань від точки А до площини α.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром.

На малюнку 411 АК - похила, проведена з точки А до площини α. Кінець цієї похилої, що лежить у площині α, - точку К - називають основою похилої. Відрізок НК, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, називають проекцією похилої АК на площину α.

Властивості перпендикуляра і похилої.

Розглянемо властивості перпендикуляра і похилої.

1) Перпендикуляр, опущений із даної точки до площини, менший від будь-якої похилої, проведеної з цієї самої точки до площини.

На малюнку 411: АН < АК.

2) Якщо дві похилі, проведені з даної точки до площини, рівні, то рівні їх проекції.

На малюнку 412 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АK₁ та перпендикуляр АН і АК = АК₁. Тоді за властивістю: НК = НК₁.

3) Якщо дві похилі, проведені з даної точки до даної площини, мають рівні проекції, то вони рівні між собою.

На малюнку 412 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АK₁ та перпендикуляр АН, причому КН = К₁Н. Тоді за властивістю: АК = АК₁.

4) Якщо з даної точки проведено до площини дві похилі, то більша похила має більшу проекцію.

На малюнку 413 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АL та перпендикуляр АН,AК > AL. Тоді за властивістю: HК > HL.

5) Якщо з даної точки проведено до площини дві похилі, то більшою з них є та, яка має більшу проекцію на дану площину.

На малюнку 413 з точки А до площини а проведено дві похилі АК і АL та перпендикуляр АН, НК > НL. Тоді за властивістю: АК > АL.

Приклад 1. З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 41 см і 50 см. Знайти проекції похилих, якщо вони відносяться, як 3 : 10, та відстань від точки до площини.

Розв’язання. 1) АL = 41 см; АК = 50 см (мал. 413). За властивістю маємо НL < НК. Позначимо НL = 3х см, НК = 10х см, АН = h см. АН - відстань від точки А до площини α.

4) Прирівнюючи, маємо 41² - 9х² = 50² - 100х²; х² = 9; х = 3 (враховуючи х > 0). Отже, НL = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).

Приклад 2. З даної точки до площини проведено дві похилі, кожна по  см. Кут між похилими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями - прямий. Знайти відстань від точки до площини.

Розв’язання.

1) АС = ВС =  см - похилі, ВАС = 60°; ВНС = 90° (мал. 414). Необхідно знайти АН.

2) У рівнобедреному трикутнику АВС:  тому ∆АВС - рівносторонній; ВС =  см.

3) Оскільки АВ = АС, то НВ = НС; позначимо НВ = НС = х см. Тоді у ∆ВНС:



ЗАДАЧІ З ТЕМИ "ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ У ПРОСТОРІ"

1. а) Відрізок довжиною 25 см спирається кінцями на дві перпен­дикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площин дорівнюють 15 і 16 см. Обчислити проекції відрізка на кожну з площин.

б) Відрізок довжиною 25 см спирається кінцями на дві перпенди­кулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють (369)^0,5   і 20 см. Обчислити відстань від кінців відрізка до даних площин.

2. а) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну з площин відповідно дорівнюють (369)^0,5   і 20 см. Відстань між основами перпендикулярів,  проведених з кінців відрізка до площин - 12 см. Обчислити довжину даного відрізка.

б) З кінців відрізка, що лежать на двох перпендикулярних площи­нах, проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких відповідно дорівнюють 16 і 15 см. Відстань між основами цих перпен­дикулярів дорівнює 12 см. Обчислити довжину даного відрізка.

3. а) Кінці відрізка довжиною 25 см лежать на двох перпендику­лярних площинах. Проекція цього відрізка на одну з площин дорівнює (369)^0,5   см, а відстань від кінця, що належить цій площині, до другої площини дорівнює 15 см. Обчислити проекцію відрізка на другу площину та відстань від другого кінця відрізка до першої площини.

б) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекція цього відрізка на одну із площин дорівнює 20 см, а довжина перпендикуляра, проведеного з кінця відрізка до цієї площини, дорів­нює 15 см. Відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до даних площин, дорівнює 12 см. Обчислити довжину відрізка та другого перпендикуляра.

4. а) Точка віддалена на 12 і 5 см від двох перпендикулярних площин. Обчислити відстань від цієї точки до прямої перетину площин.

б) Точка віддалена на 16 см від однієї з двох перпендикулярних площин. Відстань від цієї точки до прямої перетину площин становить 20 см. Обчислити відстань від даної точки до другої площини.

5. а) Кожна з двох перпендикулярних площин містить пряму, па­ралельну до лінії їх перетину. Відстані від цих прямих до лінії перети­ну площин 5 і 12 см. Обчислити відстань між даними прямими.

б) Дві прямі, відстань між якими 17 см, належать двом перпенди­кулярним площинам і паралельні лінії їх перетину. Відстань від однієї з прямих до лінії перетину площин дорівнює 8 см. Обчислити відстань від другої прямої до цієї лінії.

6. а) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці цього відрізка віддалені від прямої перетину площин на 7 і 10 см. Перший кінець відрізка віддалений на 25 см від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин. Обчислити відстані, від другого кінця і від середини відрізка до цієї прямої.

б) Відрізок лежить в одній з двох перпендикулярних площин і не пе­ретинає іншу. Кінці відрізка віддалені від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину цих площин, на 25 і 26 см. Перший кінець відрізка віддалений від прямої перетину площин на 7 см. Обчисли­ти відстані від другого кінця і від середини відрізка до прямої перетину площин.

7. а) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці відрізка віддалені від прямої перетину цих площин на 18 і 10 см, а від прямої, яка лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин - на відстані, що відносяться як 15:13. Обчислити ці відстані та відстань від середини відрізка до за­даної прямої.

б) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці цього відрізка віддалені на 30 і 26 см від пря­мої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину пло­щин. Ці ж кінці віддалені від прямої перетину площин на відстані, що відносяться як 9:5. Обчислити ці відстані і відстань від середини відрізка до прямої перетину площин.

8. а) З точки до площини правильного трикутника зі стороною 8(3)^0,5 см проведено перпендикуляр завдовжки 5 см. Основою перпен­дикуляра є одна з вершин трикутника. Обчислити відстань від точки до сторони трикутника, яка не містить основи перпендикуляра.

б) З точки до площини правильного трикутника проведено пер­пендикуляр довжиною (69)^0,5 см. Основою перпендикуляра є одна з вершин трикутника. Відстань від точки до сторони трикутника, що не містить основи перпендикуляра, дорівнює 12 см. Обчислити відстані від даної точки до вершин трикутника.

9. а) З точки до площини рівнобедреного трикутника, основа і бічна сторона якого відповідно дорівнюють 30 і 20 см, проведено перпендикуляр довжиною 15 см. Основа цього перпендикуляра співпадає з вершиною трикутника, протилежною до його основи.
Обчислити відстань від цієї точки до основи трикутника.

б) З точки до площини рівнобедреного трикутника проведено перпендикуляр   довжиною    15 см.   Основа   цього   перпендикуляра співпадає з вершиною кута, протилежного до основи трикутника. Відстані від даної точки до основи та до її кінців відповідно дорів­нюють 20 і 25 см. Обчислити сторони трикутника.

10. а) З точки простору до площини прямокутного трикутника, гіпотенуза і катет якого відповідно дорівнюють 9 і 5 см, проведено перпендикуляр довжиною   12 см. Основа цього перпендикуляра вершина гострого кута, прилеглого до даного катета Обчислити відстань від даної точки до другого катета та до його кінців.

б) З точки до площини прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 15 і 20 см, проведено перпендикуляр довжиною 16 см. Основою перпендикуляра є вершина прямого кута. Обчислити відстань від даної точки до гіпотенузи.

11. а) З точки до площини, трикутника, сторони якого дорівнюють 13, 14 і 15 см, проведено перпендикуляр довжиною їй см. Основою цього перпендикуляра є вершина кута, що лежить проти сторони завдовжки 14 см. Обчислити відстань від даної точки до цієї сторони.

б) З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 29, 25 і 6 см, проведено перпендикуляр з основою у вершині кута, протилежного до найменшої сторони трикутника. Відстань від даної точки до прямої, що містить цю сторону, дорівнює 25 см. Обчислити відстань від точки до площини трикутника.

12. а) З точки до площини квадрата, сторона якого дорівнює 12 см, проведено перпендикуляр довжиною (112)^0,5  см. Основа цього перпендикуляра - вершина квадрата. Обчислити відстані від даної точки до інших вершин квадрата.

б) З точки до площини квадрата проведено перпендикуляр, осно­ва якого є однією з вершин квадрата. Відстані від даної точки до двох інших послідовних вершин квадрата дорівнюють (17)^0,5  і 5 см. Обчис­лити відстань від даної точки до площини квадрата.

13.  а) З точки до площини прямокутника зі сторонами 9 і 12 см, проведено перпендикуляр, основою якого є одна з вершин прямокут­ника. Відстань від  протилежної вершини прямокутника до цієї точки дорівнює 39 см. Обчистити відстань від даної точки до площини прямокутника.

б) З точки до площини прямокутника зі сторонами 6 і 8 см, про­ведено перпендикуляр довжиною 24 см. Основа перпендикуляра — вершина одного з кутів прямокутника. Обчислити відстань від даної точки до протилежної вершини прямокутника.

14.  а) З точки до площини ромба зі стороною 5 см і меншою діагоналлю 6 см проведемо перпендикуляр з основою у вершині гострого кута ромба. Відстань від даної точки до протилежної вершини ромба дорівнює 17 см. Обчислити відстань від точки до площини ромба.

б) З точки до площини ромба зі стороною 13 см і більшою діаго­наллю 24 см, проведено перпендикуляр довжиною 24 см. Основа перпендикуляра співпадає з вершиною тупого кута ромба. Обчислити відстань від даної точки до протилежної вершини ромба.

15. а) З точки до площини рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює 5 см, висота 4 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведено перпендикуляр довжиною 8 см. Основа перпендику­ляра - вершина тупого кута трапеції,. Обчислити відстань від цієї точки до вершини протилежного гострого кута трапеції.

б) З точки до площини рівнобічної трапеції, більша основа якої дорівнює 13 см, висота 12 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута, про­ведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра - вершина гострого ку­та трапеції. Відстань від даної точки до вершини протилежного тупого кута - 4(22)^0,5  см. Обчислити відстань від точки до площини трапеції.

16. а) З точки до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 13 см, висота 12 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута, проведено перпендикуляр довжиною 8(3)^0,5   см. Основа перпенди­куляра - вершина тупого кута трапеції. Обчислити відстань від да­ної точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

б) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 5 см, висота 4 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведено перпендикуляр, довжина якого 8 см. Основа перпендику­ляра - вершина гострого кута трапеції. Обчислити відстань від цієї точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

17.  а) З точки до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 24 см, бічна сторона 25 см, а більша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр довжиною 7(15)^0,5  см. Основа перпендикуляра - вершина тупого кута трапеції. Обчислити відстань від даної точки до вершини протилежного прямого кута.

б) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 20 см, бічна сторона 25 см, а менша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра — вершина гострого кута трапеції. Відстань від даної точки до вершини протилежного прямого кута трапеції дорівнює 45 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трапеції.

Cамостійна робота з теми «Перпендикулярність у просторі» 

                                                                                                                                           В-1

1.Діагональ  BD  паралелограма  ABCD  перпендикулярна до площини α. Знайдіть периметр паралелограма, якщо  AB=7 cм і AC  належить площині α.

2. Відрізок МН перетинає деяку площину в точці К. Через кінці відрізка проведено прямі  НР і МЕ перпендикулярно до площини,які перетинають її в точках Р і Е . Знайдіть РЕ, якщо  НР=4 см, НК=5 см, МЕ=12 см.

3. У паралелепіпеді МРКНМ₁Р₁К₁Н₁ всі грані – ромби;  <M₁MH + <M₁MP= 180⁰. Чи перпендикулярна пряма  Р₁Н до прямої МК?

Cамостійна робота з теми «Перпендикулярність у просторі»  

В-2

1.Через катети ВD і ВС прямокутних трикутників ABD і АВС  проведено  площину α, що не містить їх спільний катет. Чи буде АВ перпедикулярна α.

2. Прямі АВ і СD перпендикулярні до деякої площини і перетинають її відповідно у точках В і D. Точки А  і С лежать по різні боки від площини. Знайдіть АС, якщо АВ = 9, СД = 15, ВД = 8.

3. Дано  трапецію АВСD, що не лежить у площині  α. Відрізки АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, є перпендикулярними, опущеними на цю площину, причому  АА₁+ СС₁ = ВВ₁+ DD_1. Доведіть, що основи трапеції паралельні площині  α.

Cамостійна робота з теми «Перпендикулярність у просторі»   

В-3

1. Через сторони АD і АР прямокутників АВСD і АРКВ проведено площину α, що не містить їх спільну сторону. Чи буде АВ^α?

2. Через кінці відрізка МН проведено прямі перпендикулярно до деякої площини, які перетинають її відповідно і точках К і Т. Причому М і Н лежать по різні боки від площини. Знайдіть МН = 4, НТ = 6.