ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ.

ТЕОРЕМА ПРО ТРИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРИ.

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а  НМ, то а  АМ, і навпаки, якщо а  АМ, то а  НМ.

Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.

Розв’язання (мал. 416). 1) АК  АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD  DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD  DС.

3) Тоді площа квадрата S = 8² = 64 (см²).

Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.

Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК  АВС (мал. 417).

2) КМ  АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ  АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.

3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.

4) 3 іншого боку 

ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ

1. а) Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27 см². Обчислити відстань від площини трикутника до точки, що віддалена від кожної з його вершин на 10 см.

б) Висота рівностороннього трикутника дорівнює 9 см. Точка ле­жить на відстані 8 см від, площини трикутника і рівновіддалена від його вершин. Знайти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

2. а) Площа квадрата дорівнює 50 см². Обчислити відстань від площини квадрата до точки, віддаленої від кожної з його вершин на 13 см.

б) Периметр квадрата дорівнює 20(2)^0,5 см. Точка лежить на відстані 12 см від площини квадрата і рівновіддалена від його вер­шин. Обчислити відстань від цієї точки до вершин квадрата.

3. а) Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 14 і 50 см, бічна сторона - 30 см. Обчислити відстань від площини трапеції до точки, віддаленої від кожної з її вершин на 65 см.

б) Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 50 см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін. Точка лежить на відстані 60 см від площини трапеції і рівновіддалена від її вершин. Обчислити відстань від цієї точки до вершин трапеції.

4. а) Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на від­різки 6 і 2 см, починаючи від найближчої до вершини цього кута вершини прямокутника. Обчислити відстань від площини прямокутни­ка до точки, віддаленої від кожної з його вершин на 13 см.

б) Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а його площа 48 см². Точка знаходиться на відстані 12 см від площини прямокутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Обчислити відстані від цієї точ­ки до вершин прямокутника.

5. а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 128 см, а ме­діана, проведена до основи, дорівнює 32 см. Відстані від точки про­стору до вершин трикутника дорівнюють по 65 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини даного трикутника.

б) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 768 см², а його основа - 48 см. Точка простору знаходиться на відстані 60 см від площини трикутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Обчисли­ти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

6. а) Середня   лінія   рівностороннього   трикутника   дорівнює 2(3)^0,5 см. Відстані від точки простору до вершин трикутника дорівнюють по 5 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трикутника.

б) Периметр правильного трикутника дорівнює 9(3)^0,5 см. Точка знаходиться на відстані 4см від площини трикутника і однаково віддалена від усіх його вершин. Обчисли­ти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

ПОХИЛА, ПЕРПЕНДИКУЛЯР, ПРОЕКЦІЯ У ПРОСТОРІ

1. а) У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 см, а бічна сторона 40 см. Відрізки, що сполучають точку простору з вершинами цього трикутника, дорівнюють по 65 см. Обчислити відстань від даної  точки до площини трикутника.

б) У рівнобедреному трикутнику основа і проведена до неї висота відповідно дорівнюють 48 і 32 см. Точка лежить на відстані 60 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Обчис­лити відстань від цієї точки до вершин трикутника.

2. а) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений з
вершини прямого кута, дорівнює 24 см і ділить гіпотенузу у відношенні 9:16. Відстані від точки простору до вершин трикутника дорів­нюють по 65 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини три­кутника.

б) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений  з вершини прямого кута, дорівнює 24 см і ділить гіпотенузу на відрізки, різниця яких дорівнює 14 см. Точка простору лежить на відстані 60 см від площини трикутника і на рівних відстанях від його вершин. Об­числити відстань від цієї точки до вершин трикутника.

3. а) Сторони прямокутника дорівнюють 6 і 8 см. Точка простору віддалена від кожної з його вершин на 13 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трикутника.

б) Сторони прямокутника дорівнюють 18 і 24 см. Точка простору знаходиться на відстані 8 см від площини прямокутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Обчислити відстань від цієї точки до вер­шин прямокутника.

4. а) Відрізок, що сполучає середини суміжних сторін квадрата, дорівнює 5 см. Відстані від точки простору до вершин квадрата дорівнюють по 13 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини квадрата.

б) Сторона квадрата дорівнює 5(2)^0,5 см. Точка простору рівновіддалена від його вершин і знаходиться на відстані 12 см від площи­ни квадрата. Обчислити відстань бід цієї точки до вершин квадрата.

5. а) Кінці відрізка, що не перетинає площину, віддалена на 21 і 9 см. Обчислити відстань від середини відрізка до цієї площини.

б) Кінці відрізка, що перетинає площину, віддалені від неї на 23 і 13 см. Обчислити відстань від середини відрізка до цієї площини.

6. а) З точки, віддаленої від площини на 12 см. проведено похилу. Похила на 8 см довша за її проекцію. Обчислити довжину похилої.

б) З точки до даної площини проведено перпендикуляр і похилу. Похила на 1 см довша за перпендикуляр. Проекція похилої на пло­щину дорівнює 5 см. Обчислити довжину перпендикуляра.

7. а) З деякої точки простору до площини проведено дві похилі завдовжки 25 і 30 см. Проекція меншої з них на площину дорівнює 7 см. Об­числити проекцію більшої похилої на цю площину.

б) З деякої точки простору проведено до площини дві похилі, проекції яких дорівнюють 8 і 20 см.  Більша з похилих дорівнює 25 см. Обчислити довжину меншої похилої.

8. а) З точки до площини проведено дві похилі, що дорівнюють по 3(2)^0,5  см кожна. Кут між похилими 60°, а кут між їх проекціями - прямий. Обчислити відстань від даної точки до площини.

б) 3 точки до площини проведено дві похилі, кут між якими 60е, а кут між їх проекціями - 90°. Довжини проекцій похилих на площину дорівнюють по 3 см кожна. Обчислити відстань від точки до площини.

9. а) З точки до площини проведено дві похилі. Довжина першої похилої дорівнює 13 см, а довжина її проекції - 5 см. Кут між про­екціями похилих дорівнює 120°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих - 19 см. Обчислити довжину другої похилої.

б) З точки до площини проведено дві похилі. Довжина однієї з них дорівнює 4(5)^0,5 см, а довжина її проекції - 8 см. Кут між проекціями похи­лих дорівнює 60°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих, дорів­нює 7 см. Обчислити довжину другої похилої.

10. а) З точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, про­ведено дві похилі довжиною 5 і 4(5)^0,5 см. Кут між проекціями цих похилих становить 60^о. Обчислити відстань між основами похилих.

б) З точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини, прове­дено дві похилі довжиною 13 і 20 см. Відстань між основами похилих становить 19 см. Обчислити кут між проекціями дих похилих.

11. а) З точки, віддаленої від площини на 24 см, проведено дві похилі, кут між якими 90°. Проекції цих похилих на площину дорівнюють 18 і 32 см. Обчислити відстань між основами похилих.

б) З точки, віддаленої від площини на 12 см, проведено дві похилі довжиною 13 і 12(2)^0,5  см. Кут між проекціями цих похилих на площину, дорівнює 90°. Обчислити відстань між основами похилих.

12. а) З точки до площини проведено дві похилі довжиною 25 і 30 см. Різниця між проекціями цих похилих дорівнює 11 см. Обчисли­ти відстань від точки до площини.

б) З точки до площини проведено дві похилі, різниця між якими дорівнює 5 см. Проекції цих похилих дорівнюють 18 і 7 см. Обчисли­ти відстань від даної точки до площини.

13. а) З точки до площини проведено дві похилі довжиною 35 і 75 см. Проекції цих похилих на площину відносяться як 7:18. Обчислити відстань від даної точки до площини.

б) З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відно­сяться як 7:15. Проекції цих похилих на площину дорівнюють 28 і 72 см. Обчислити відстань від даної точки до площини.

14. а) Кінці відрізка, що не перетинає площину, віддалені від неї на 12 і 4 см. Обчислити відстань від точки відрізка, що ділить його у відношенні 5:3, рахуючи від першого кінця, до даної площини.

б) Кінці відрізка, довжина якого 30 см, віддалені від площини, яку він перетинає, на 3 і 15 см. Обчислити довжину проекції відрізка на цю площину.