Кути у просторі

Кут між двома площинами.

Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута.

Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома півплощинами тільною прямою, що їх обмежує.

На малюнку 418 двогранний кут, півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина α, перпендикулярна ребру а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС (мал. 419). Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута.

Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута.

Приклад. Двогранний кут дорівнює 60º. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 6 см від ребра двогранного кута. Знайти відстань від цієї точки до другої грані.

Розв’язання. 1) Нехай точка А належить одній із граней двогранного кута з ребром а, АС а; АВ - перпендикуляр до другої грані двогранного кута (мал. 420).

2) За теоремою про три перпендикуляри ВС  а.

3) Тому а  АВС за ознакою перпендикулярності прямої і площини.

4) АСВ - лінійний кут двогранного кута, за умовою ACB = 60°.

5) АС = 6 см. У трикутнику АВС: 



КУТИ КУБА

Кути куба поділяються на:

а) лінійні кути(утворені двома ребрами куба, які виходять з вершини куба);

б) двогранні кути(утворені двома суміжними гранями куба зі спільним ребром);

в)тригранні кути(утворені трьома суміжними взаємно перпендикулярними гранями куба, три ребра яких виходять з однієї вершини куба).

Властивості кутів куба. 

1.Лінійні кути куба прямі, тобто мають міру 90^о.

2.Двогранні кути куба вимірюються лінійними кутами куба і мають міру 90^о.

3.Тригранні кути куба вимірюються трьома лінійними кутами куба.

Властивості кутів на кубі

• Гострий кут між двома діагоналями куба дорівнює  куту А₁ОВ₁ = j = 2arcsin(1:3^0,5) =70^o32’ .
• Кут між діагоналлю куба і площиною основи куба дорівнює куту A₁CA = arcsin(1:3^0,5) =35^o16’  .
• Кут між діагоналлю куба і бічним ребром куба дорівнює куту  АA₁C = arccos(1:3^0,5) =54^o48’ .
• Кут між діагоналлю і мимобіжною діагоналлю грані у куба дорівнює  прямому куту, тобто 90 градусів.
• Найкоротша відстань між діагоналлю куба і мимобіжною до неї діагоналлю основи дорівнює a: 6^0,5, де а – довжина ребра куба, а найдовша відстань між ними дорівнює  2^0,5a, де а – довжина ребра куба.
•  Будь-які дві діагоналі куба є діагоналями діагонального перерізу куба, який розбиває куб на дві рівні трикутні призми.
• Dіагональ куба не є віссю симетрії куба.

Задачі з теми "КУТИ У ПРОСТОРІ"

1. а) Кінці відрізка, довжина якого 24 см, належать двом перпен­дикулярним площинам. Відстані від кінців відрізка до лінії перетину цих площин відповідно дорівнюють 12 і 12(2)^0,5  см. Обчислити кути, утворені відрізком з цими площинами.

б) З кінців відрізка, що належать двом перпендикулярним площи­нам, до лінії перетину площин проведено перпендикуляри, що до­рівнюють 4(2)^0,5  і 4 см. Відстань між основами перпендикулярів дорів­нює 4 см. Обчислити кути, утворені відрізком з цими площинами.

2. а) З кінців відрізка, що належать двом перпендикулярним площинам, до лінії перетину площин проведено перпендикуляри, відстань між основами яких 3 см. Проекції відрізка на ці площини   дорівнюють 3(2)^0,5  і 3(3)^0,5  см. Обчислити кути, утворені відрізком з дани­ми площинами.

б) Кінці відрізка довжиною 6 см належать двом перпендикулярним  площинам. Проекція відрізка на одну з площин дорівнює 3(3)^0,5  см, а відстань від його кінця до другої площини дорівнює 3(2)^0,5  см. Обчис­лити кути, утворені відрізком з цими площинами.

3.        а) Кінці відрізка лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах.  Проекція  відрізка  на  першу  з  цих  площин дорівнює 3(3)^0,5  см, а відстані  від його  кінців до  першої і другої площин відповідно дорівнюють 3 і 3(2)^0,5  см. Обчислити кути, утворені відрізком з даними площинами.

б) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на першу і другу площини відповідно дорівнюють 3(3)^0,5   і 3(2)^0,5   см. Кінець відрізка, що належить другій площині, віддале­ний від лінії перетину площин на 3 см. Обчислити кути між відрізком і цими площинами.