Умова перпендикулярності векторів, що задані координатами.

Умова перпендикулярності векторів, що задані координатами.

Оскільки  де φ - кут між векторами, то маємо умову перпендикулярності векторів: якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю, і навпаки: якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Якщо задано координати векторів , то умовою перпендикулярності векторів є

Приклад 1. Чи перпендикулярні вектори:  перпендикулярні?

Розв’язання.  тому   .

 тому вектори  i  не перпендикулярні.

Приклад 2. При якому значенні х вектори  перпендикулярні?

Розв’язання. Щоб вектори були перпендикулярні, їх скалярний добуток має дорівнювати нулю: 2х - 7 - 4 = 0; 2х = 11; х = 5,5.



Задачі з теми "ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ"

1. Знайдіть скалярний добуток b(a -2b),  якщо |a|=2, |b|=4, кут між векторами a і b дорівнює 135°.

2.При якому значенні m вектори а(1; -2; 4m) і b(2; 2m+1; - m) взаємно перпендикулярні?

3. Із точки А, що знаходиться на відстані АО = 1 см, від площини α, проведемо дві похилі АС = 37^0,5 см і АВ = 65^0,5  см, причому ВО і ОС перпендикулярні. Знайдіть відстань від точки О до ВС.

4. При якому значенні n площина х - 7у - 3z + 8 = 0 паралельна вектору v (-1; 2; n)?

5. Дано точки: А(2; -1; 2^0,5 ), C(1; -2; 0), B(1; -3; 0). Знайдіть кут між векторами СА і DB.

6. Знайдіть скалярний добуток n(m+n), якщо   |m | =3; |n|=2, а кут між векторами m і n дорівнює 150°.

7. Вектори а(n; -2;1) і b(1;1 – n) взаємно перпендикулярні. Знайдіть n.

8. Із точки А, що знаходиться від площини α на відстані АВ = 1 дм, проведено дві похилі, проекції яких на площину α дорівнюють ВС=35^0,5  дм, ВD=63^0,5  дм, причому АС і AD перпендикулярні. Знайдіть відстань від точки А до CD.

9. При яких значеннях a і b площина ax + by - 2z – 7 = 0 перпендикулярна до вектора v (3; -4; 1) ?

10. Дано точки: E(2; 0;1), M(3; 3^0,5 ; 1) P(3; 0; -1), K(3; -1; -1). Знайдіть кут між векторами ЕМ і РК.

11. Знайдіть скалярний добуток (с-d)d, якщо |с| =3, |d|=5, кут між векторами с і d дорівнює 120°.

12. При яких значеннях с вектори а(c; -2; 1) і b(c; 2c; 4) взаємно перпендикулярні?

13.Вектор с перпендикулярний до вектора а(1; 1; 1) та вектора b(1; -1; 3)  і утворює з віссю Oz тупий кут. Знайдіть координати вектора с, якщо |с| =3.

14.Запишіть рівняння площини, яка паралельна площині 3х - 2у -4z + 2 = 0 і містить точку М (3; 2; -1).