Задачі на знаходження відстаней у просторі

ЗАДАЧІ НА КУБІ

1.    Знайти відстань від вершини куба до його діагоналі, якщо ребро куба рівне 6 см.

2.    Знайти площу перерізу куба, що проходить через діагоналі двох суміжних граней куба, якщо ребро куба рівне 8 см.

3.    Знайти площу перерізу куба ABCDA₁B₁C₁D₁, що проходить через середини шести  ребер куба АВ, ВС, СС₁, D₁C₁,  A₁D₁ , АA₁ , якщо ребро куба рівне 2 см.

4.    Знайти кут між  діагоналлю  куба  і мимобіжною до неї діагоналлю бічної грані куба.

5.    Знайти кут між бічним ребром куба і перерізом куба АСВ₁?

Контрольна робота

Варіант -1

1.      Точка А лежить у площині, а точка В лежить на відстані 12,5 м від цієї площини. Знайдіть відстань від площини до точки М, що ділить АВ у відношенні АМ:МВ=2:3.

2.      Якої довжини потрібно взяти перекладку, щоб її можна було покласти  кінцями на дві вертикальні опори висотою 4 м і 8 м, що стоять на відстані 3 м одна від одної?

3.      З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 6 см довша за другу. Проекції похилих дорівнюють 17 см і 7 см. Знайдіть похилі.

4.      У вершині квадрата ABCD проведено перпендикуляр АЕ до його площини. Чому дорівнює відстань від точки Е до прямої BD, якщо  АЕ = 2 дм, АВ = 8 дм ?

5.      Знайдіть геометричне місце точок простору, рівновіддалених від  вершини даного трикутника.

Контрольна робота

Варіант -2

1.      Відрізок АВ не перетинає площину. Точка А віддалена від неї на 2,5 м, а середина відрізка АВ- на 3 м. Знайдіть відстань від точки В до площини.

2.      Відрізок АВ=5 см, не має спільних точок з площиною a. Прямі АС і ВD, перпендикулярні до цієї площини, перетинають її відповідно у точках   С і D. Знайдіть BD, якщо  СD=3 см , АС=17 см, ВD<АС.

3.      З точки М до площини проведено  дві похилі завдовжки 25 см і 40 см. Знайдіть відстань від точки М до площини,знаючи, що сума проекцій похилих дорівнює 39 см.

4.      Катети АВ=8 см і АС=14 см перпендикулярні до прямої АМ, на якій позначено таку точку D, що AD=4 см. Знайдіть відстань від точки D до середини гіпотенузи трикутника АВС.    

Контрольна робота

Варіант -3

1.Чотири  точки    A, B, C, D  не лежить в одній  площині.   Точки M, N середина відрізка AB і  BC, а точка P і K- середина відрізків AD і DC.  Порівняйте довжини відрізків MN і PK.

2.Площина, паралельна  стороні  AB трикутник ABC,  перетинає сторону AC у точці A₁,  а сторона BC у точці  B₁.  Знайдіть довжину відрізка СА, якщо СА₁ =3см, А₁В₁ =7см, АВ= 21см.

3. З точки, віддаленої від площини на 4(2)^0,5 см, проведено дві похилі, які утворюються з площиною кути 45 градусів, а між собою ‒ 60 градусів. Знайдіть відстань між основними похилими.



ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ

1. а) Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27 см². Обчислити відстань від площини трикутника до точки, що віддалена від кожної з його вершин на 10 см.

б) Висота рівностороннього трикутника дорівнює 9 см. Точка ле­жить на відстані 8 см від, площини трикутника і рівновіддалена від його вершин. Знайти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

2. а) Площа квадрата дорівнює 50 см². Обчислити відстань від площини квадрата до точки, віддаленої від кожної з його вершин на 13 см.

б) Периметр квадрата дорівнює 20(2)^0,5 см. Точка лежить на відстані 12 см від площини квадрата і рівновіддалена від його вер­шин. Обчислити відстань від цієї точки до вершин квадрата.

3. а) Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 14 і 50 см, бічна сторона - 30 см. Обчислити відстань від площини трапеції до точки, віддаленої від кожної з її вершин на 65 см.

б) Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 50 см, а діагоналі перпендикулярні до бічних сторін. Точка лежить на відстані 60 см від площини трапеції і рівновіддалена від її вершин. Обчислити відстань від цієї точки до вершин трапеції.

4. а) Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на від­різки 6 і 2 см, починаючи від найближчої до вершини цього кута вершини прямокутника. Обчислити відстань від площини прямокутни­ка до точки, віддаленої від кожної з його вершин на 13 см.

б) Периметр прямокутника дорівнює 28 см, а його площа 48 см². Точка знаходиться на відстані 12 см від площини прямокутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Обчислити відстані від цієї точ­ки до вершин прямокутника.

5. а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 128 см, а ме­діана, проведена до основи, дорівнює 32 см. Відстані від точки про­стору до вершин трикутника дорівнюють по 65 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини даного трикутника.

б) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 768 см², а його основа - 48 см. Точка простору знаходиться на відстані 60 см від площини трикутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Обчисли­ти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

6. а) Середня   лінія   рівностороннього   трикутника   дорівнює 2(3)^0,5 см. Відстані від точки простору до вершин трикутника дорівнюють по 5 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трикутника.

б) Периметр правильного трикутника дорівнює 9(3)^0,5 см. Точка знаходиться на відстані 4см від площини трикутника і однаково віддалена від усіх його вершин. Обчисли­ти відстань від цієї точки до вершин трикутника.

ПОХИЛА, ПЕРПЕНДИКУЛЯР, ПРОЕКЦІЯ У ПРОСТОРІ

1. а) У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 см, а бічна сторона 40 см. Відрізки, що сполучають точку простору з вершинами цього трикутника, дорівнюють по 65 см. Обчислити відстань від даної  точки до площини трикутника.

б) У рівнобедреному трикутнику основа і проведена до неї висота відповідно дорівнюють 48 і 32 см. Точка лежить на відстані 60 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Обчис­лити відстань від цієї точки до вершин трикутника.

2. а) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений з
вершини прямого кута, дорівнює 24 см і ділить гіпотенузу у відношенні 9:16. Відстані від точки простору до вершин трикутника дорів­нюють по 65 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини три­кутника.

б) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений  з вершини прямого кута, дорівнює 24 см і ділить гіпотенузу на відрізки, різниця яких дорівнює 14 см. Точка простору лежить на відстані 60 см від площини трикутника і на рівних відстанях від його вершин. Об­числити відстань від цієї точки до вершин трикутника.

3. а) Сторони прямокутника дорівнюють 6 і 8 см. Точка простору віддалена від кожної з його вершин на 13 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трикутника.

б) Сторони прямокутника дорівнюють 18 і 24 см. Точка простору знаходиться на відстані 8 см від площини прямокутника і рівновіддалена від усіх його вершин. Обчислити відстань від цієї точки до вер­шин прямокутника.

4. а) Відрізок, що сполучає середини суміжних сторін квадрата, дорівнює 5 см. Відстані від точки простору до вершин квадрата дорівнюють по 13 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини квадрата.

б) Сторона квадрата дорівнює 5(2)^0,5 см. Точка простору рівновіддалена від його вершин і знаходиться на відстані 12 см від площи­ни квадрата. Обчислити відстань бід цієї точки до вершин квадрата.

5. а) Кінці відрізка, що не перетинає площину, віддалена на 21 і 9 см. Обчислити відстань від середини відрізка до цієї площини.

б) Кінці відрізка, що перетинає площину, віддалені від неї на 23 і 13 см. Обчислити відстань від середини відрізка до цієї площини.

6. а) З точки, віддаленої від площини на 12 см. проведено похилу. Похила на 8 см довша за її проекцію. Обчислити довжину похилої.

б) З точки до даної площини проведено перпендикуляр і похилу. Похила на 1 см довша за перпендикуляр. Проекція похилої на пло­щину дорівнює 5 см. Обчислити довжину перпендикуляра.

7. а) З деякої точки простору до площини проведено дві похилі завдовжки 25 і 30 см. Проекція меншої з них на площину дорівнює 7 см. Об­числити проекцію більшої похилої на цю площину.

б) З деякої точки простору проведено до площини дві похилі, проекції яких дорівнюють 8 і 20 см.  Більша з похилих дорівнює 25 см. Обчислити довжину меншої похилої.

8. а) З точки до площини проведено дві похилі, що дорівнюють по 3(2)^0,5  см кожна. Кут між похилими 60°, а кут між їх проекціями - прямий. Обчислити відстань від даної точки до площини.

б) 3 точки до площини проведено дві похилі, кут між якими 60е, а кут між їх проекціями - 90°. Довжини проекцій похилих на площину дорівнюють по 3 см кожна. Обчислити відстань від точки до площини.

9. а) З точки до площини проведено дві похилі. Довжина першої похилої дорівнює 13 см, а довжина її проекції - 5 см. Кут між про­екціями похилих дорівнює 120°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих - 19 см. Обчислити довжину другої похилої.

б) З точки до площини проведено дві похилі. Довжина однієї з них дорівнює 4(5)^0,5 см, а довжина її проекції - 8 см. Кут між проекціями похи­лих дорівнює 60°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих, дорів­нює 7 см. Обчислити довжину другої похилої.

10. а) З точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, про­ведено дві похилі довжиною 5 і 4(5)^0,5 см. Кут між проекціями цих похилих становить 60^о. Обчислити відстань між основами похилих.

б) З точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини, прове­дено дві похилі довжиною 13 і 20 см. Відстань між основами похилих становить 19 см. Обчислити кут між проекціями дих похилих.

11. а) З точки, віддаленої від площини на 24 см, проведено дві похилі, кут між якими 90°. Проекції цих похилих на площину дорівнюють 18 і 32 см. Обчислити відстань між основами похилих.

б) З точки, віддаленої від площини на 12 см, проведено дві похилі довжиною 13 і 12(2)^0,5  см. Кут між проекціями цих похилих на площину, дорівнює 90°. Обчислити відстань між основами похилих.

12. а) З точки до площини проведено дві похилі довжиною 25 і 30 см. Різниця між проекціями цих похилих дорівнює 11 см. Обчисли­ти відстань від точки до площини.

б) З точки до площини проведено дві похилі, різниця між якими дорівнює 5 см. Проекції цих похилих дорівнюють 18 і 7 см. Обчисли­ти відстань від даної точки до площини.

13. а) З точки до площини проведено дві похилі довжиною 35 і 75 см. Проекції цих похилих на площину відносяться як 7:18. Обчислити відстань від даної точки до площини.

б) З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відно­сяться як 7:15. Проекції цих похилих на площину дорівнюють 28 і 72 см. Обчислити відстань від даної точки до площини.

14. а) Кінці відрізка, що не перетинає площину, віддалені від неї на 12 і 4 см. Обчислити відстань від точки відрізка, що ділить його у відношенні 5:3, рахуючи від першого кінця, до даної площини.

б) Кінці відрізка, довжина якого 30 см, віддалені від площини, яку він перетинає, на 3 і 15 см. Обчислити довжину проекції відрізка на цю площину.

ВІДСТАНЬ МІЖ МИМОБІЖНИМИ ПРЯМИМИ

1. Дві площини взаємно перпендикулярні. Кінці відрізка лежать на цих площинах і віддалені від лінії перетину цих площин а на 15 см і 20 см. Знайдіть відстань між цим відрізком і прямою а.

2. Кінці відрізків АВ і СD лежать на двох паралельних площинах, причому точки А і С лежать одній площині, а точки В і D – в другій. Відомо, що АВ – спільний перпендикуляр до цих площин. Знайдіть відстань між серединами АВ і СD, якщо:

а) АВ = 9 см, СD = 15 см, АС = 7 см, ВD = 11см;

б) АВ = 42 см, СD = 46 см, АС = 15 см, ВD = 17см.

3. АВСD і ABEF – рівні прямокутники. Відомо, що ВС = а, кут СВЕ = 90^о. Знайдіть відстань між прямими АВ і СF.

4. Кінці відрізків АВ =  16 см і СD = 34 см лежать на двох паралельних площинах, причому АВ –  спільний перпендикуляр до цих площин. Відомо, що  АС = 13 см, ВD = 37 см. Знайдіть відстань між прямими АВ і СD.

------------------------------------------------------------------
Задачі для самостійного опрацювання

1.     На площині α лежить рівносторонній трикутник А₁В₁С₁. Він  являється ортогональною  проекцією трикутника АВС.  Якого вигляду в залежності від кутів та кількості рівних сторін може бути  трикутник АВС?

2.     Ребро правильного тетраедра дорівнює 1. Площина рухається паралельно самій себе і перетинає тетраедр. Довести, що пе­риметр перерізу менше 3. Довести, що периметр довільного  чотирикутного перерізу більше 2.

3.     У правильній трикутній призмі проводяться перерізи, перпендикулярно діагоналі однієї із її граней. Коли площа такого  перерізу  досягає найбільшого  значення?

4.     Побудуйте неплоску замкнену ломану, у якої усі ланки рівні і всі кути між сусідніми ланками рівні.

5.     Чи можуть п’ять променів у просторі розташуватися так, щоб кут між кожними двома із них був тупий?

6.     Із вершини А прямокутника АВСD із сторонами 6 см та 8 см проведено пер­пендикуляр до його площини. Точка К ‒ змінна точка цього перпендикуляра.  АК = х. Виразити як  функцію від х відстань: 1)від  К до АD;  2) від  К до CD;  3) від  К до ВD;  4) від В до площини КАС; 5) від С до площини КАВ; 6) від ВС до середини DK;  7) від середини  DС до К; 8) від чверті  відрізка АК  до  половини  DС.

7.     Із вершини А ромба АВСD із сторонами b см та гострим кутом  j проведено пер­пендикуляр до його площини. Точка К ‒ змінна точка цього перпендикуляра.  АК = m. Виразити як  функцію від m відстань: від  К до АD;  2) від  К до CD;  3) від  К до ВD;  4) від В до площини КАС; 5) від С до площини КАВ; 6) від ВС до середини DK;  7) від середини  DС до К;     8) від чверті  відрізка АК  до  половини  DС.

8.     Нехай   тетраедр DABC, у якого кути  АВС і ВСD    прямі, DA =DB. Скільки треба зробити вимірів на його поверхні, щоб обчислити відстань від точки  D до площини основи?

9.     Три ребра прямокутного паралелепіпеда  відомі 3 см, 4 см,  5 см. Знайти відстань від його вершини до  площини, що проходе через три сусідні з нею вершини.

10.                       Де знаходиться точка, що рівновіддалена від усіх граней(бічних ребер): 1) куба; 2) правильного тетраедра; 3) правильної трикутної  призми; б) правильної шестикутної піраміди.

11.                       У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ з одиничним ребром  проведено переріз через   вершину В₁. Обчислити  найбільше граничне значення площі цього перерізу куба.

12.                       В двох перпендикулярних площинах  лежать два рівних  круги,  що не мають спільних точок. Як знайти відстань між: а) центрами кругів; б) най віддаленими точками двох кругів?

13.                       Три рівні циліндри розташовані на столі так, що кожні два циліндри мають одну спільну точку.  Радіус кожного циліндра дорівнює  R. Знайти усі можливі радіуси куль, які можуть поміститися в зазорі, утвореному циліндрами.

14.                        Стіл має циліндричну кришку і три циліндричні ніжки. Які треба виконати виміри, що вияснити, чи можна його пронести через відчинені двері майстерні. А якщо у стола чотири такі ж ніжки?