Перпендикулярність площин

Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута.

Двогранним кутом називають фігуру, утворену двома півплощинами тільною прямою, що їх обмежує.

На малюнку 418 двогранний кут, півплощини, що утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, - ребром двогранного кута.

Площина α, перпендикулярна ребру а двогранного кута, перетинає грані двогранного кута по променях АВ і АС (мал. 419). Кут ВАС називають лінійним кутом двогранного кута.

Градусною мірою двогранного кута називають градусну міру його лінійного кута.

Приклад. Двогранний кут дорівнює 60º. На одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 6 см від ребра двогранного кута. Знайти відстань від цієї точки до другої грані.

Розв’язання. 1) Нехай точка А належить одній із граней двогранного кута з ребром а, АС а; АВ - перпендикуляр до другої грані двогранного кута (мал. 420).

2) За теоремою про три перпендикуляри ВС  а.

3) Тому а  АВС за ознакою перпендикулярності прямої і площини.

4) АСВ - лінійний кут двогранного кута, за умовою ACB = 60°.

5) АС = 6 см. У трикутнику АВС: 

Перпендикулярність площин.

Дві площини, що перетинаються, утворюють чотири двогранні кути. Якщо один з них дорівнює 90°, то інші, теж дорівнюють 90º (мал. 421).

Дві площини називаються перпендикулярними, якщо перетинаючись вони утворюють прямі двогранні кути.

Якщо площини α і β перпендикулярні, то це записують так: α  β.

Важливою є ознака перпендикулярності площин: якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

На малюнку 421: α  β і а  α. Тоді за ознакою отримаємо: α  β.

Приклад 1. Точка М рівновіддалена від вершин прямокутника ABCD. Яким є взаємне розміщення площин АВС і МАС?

Розв’язання. 1) Нехай точка О - точка перетину діагоналей прямокутника ABCD (мал. 422). Оскільки AM = МС, то ∆АМО = ∆СМО (за трьома сторонами), тому AOM = СОМ = 90°. Отже,MO  АС.

2) Аналогічно доводимо, що MO  BD.

3) Оскільки МО  АС і MO  BD, то за ознакою перпендикулярності прямої і площини отримаємо, що MO  АВС.

4) Тоді за ознакою перпендикулярності площин маємо МАС  ABC. Отже, площини АВС і МАС перпендикулярні.

Приклад 2. Два рівнобедрених трикутники АВС і АВС₁ мають спільну основу АВ = 16 см. Площини трикутників перпендикулярні. Знайти відстань між точками С і С₁, якщо АС = 10 см, АС₁= 17 см.

Розв’язання. 1) Нехай точка К - середина АВ, тоді СК - медіана і висота рівнобедреного трикутника АВС, а С₁К — медіана і висота трикутника АВС₁ (мал. 423).

2) Оскільки СК  АВ і С₁К  АВ, то СКС₁ — лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами трикутників. За умовою СКС₁ = 90°.

Задачі з теми "Перпендикулярність площин"

 1. Вертикальність стіни перевіряють за допомогою виска. Якщо він щільно прилягає до її поверхні, вважають, що вертикальність додержано. Чи правильно це?  На чому ґрунтується такий спосіб перевірки?

2. Знайдіть геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних паралельних прямих.

3. АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб. Знайдіть на його поверхні усі точки, рівновіддалені від прямих: а) АВ і СD; б) АВ і C₁D₁ ; в) АС і А₁С₁.

4. Якщо дві площини перпендикулярні до площини d, то лінія їх перетину перпендикулярна до площини d. Доведіть.

5. Знайдіть геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих, які перетинаються.

6. АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб. Знайдіть на його поверхні усі точки, рівновіддалені від прямих: а) АВ і ВС; б) АС і ВD.

7. Для перевірки вертикальності встановлюваного стовпа з двох точок, які не лежать на одній прямій з основою стовпа, з’ясовували, чи збігається лінія виска з видимою віссю стовпа. Чи достатня така перевірка? На чому вона ґрунтується?

8. Пряма i не перпендикулярна до площини d. Яку фігуру утворюють усі прямі, які перетинають пряму i і перпендикулярні до площини d?