Поняття вектора у просторі, довжина вектора, колінеарні вектори, рівні вектори.

ВЕКТОРИ У ПРОСТОРІ. ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ.

Поняття вектора у просторі, довжина вектора, колінеарні вектори, рівні вектори.

В розділі «Планіметрія» цього посібника ми ознайомились з поняттям вектора на площині та діями над ними. Всі основні поняття для векторів у просторі ті ж самі, що і для векторів на площині.

Перед подальшим вивченням цього пункту радимо повторити поняття вектора, довжини (модуля) вектора, які вектори називають колінеарними, і які рівними (див. розділ І «Планіметрія», §29, п. 1, 2).

Приклад 1. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб з ребром 1 (мал. 517). Знайти модулі векторів ,  і ₁.

Розв’язання. 1) АО = 1, тому ll = 1.

Приклад 2. На малюнку 518 зображено прямокутний паралелепіпед. Колініарними є пари векторів  і ₁,  і ,  і ,  і ₁ тощо.

Вектори  і ₁ є однаково напрямленими, це записують, нагадаємо так 

Вектори ₁ і  - протилежно напрямлені. Це, нагадаємо, записують так 

Пари векторів  і ,  і  не є колінеарними, тому вони не є ні спів напрямленими, ні протилежно напрямленими.

Рівними є вектори  і . Це записують так  = .

Вектори  і ₁ не рівні між собою, оскільки у них різні довжини, вектори ₁ і також не рівні між собою, оскільки вони є протилежно напрямленими. Але модулі цих векторів рівні. Можна записати 

ВЕКТОРИ                                                                                 

 Основні поняття про вектори

Означення. Відрізок, для якого зазначено,  який з його кінців вважають початком, а який - кінцем, називається напрямленим відрізком, або вектором                                                                                                                                                                     

Означення. Будь-яку точку можна вважати нульовим вектором

Означення. Довжиною (модулем) ненульового вектора називається відстань між його початком та кінцем

Означення. Вважають, що довжина нульового вектора дорівнює нулю.

Означення. Ненульові вектори називаються колінеарними, вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих.

Означення. Нульовий вектор вважають колінеарних будь-якому вектору.

Означення. Два однаково напрямлених колінеарних вектори називаються співнапрямленими.

Означення. Два неоднаково напрямлених колінеарних вектори називаються протилежно напрямленими.

Означення. Нульовий вектор спів напрямлений до будь-якого вектора

                  Рівність векторів

Означення. Вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені і їх довжини рівні.

Означення. Якщо деяка точка - початок даного вектора, то кажуть, що цей вектор відкладено від  даної точки.

Теорема. Від будь-якої точки можна відкласти вектор, що дорівнює даному, і до того ж тільки один.