Повторення. Перпендикулярність у просторі.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ

Означення. Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними.

Позначення перпендикулярності: а^b або Ð(b; а) = 90^о .

Ознака перпендикулярності двох прямих. Якщо дві прямі, що перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Означення. Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка  лежить в даній площині.

Позначення перпендикулярності: а^α або Ð(α; а) = 90^о  βδjγ

Позначення паралельності: а||α  або Ð(α; а) = 0^о  

Ознака перпендикулярності прямої і площини. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Властивості перпендикулярності прямої і площини

Властивість. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до другої.

Властивість. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні між собою.

Властивість. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна до другої.

Властивість. Дві різні площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні між собою.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА У ПРОСТОРІ

Означення. Відрізок, що перетинає площину, і лежить на перпендикулярній до площини прямій називається перпендикуляром до цієї площини. Основа перпендикуляра до площини – це точка, яка належить і площині і перпендикуляру одночасно.

Означення. Відрізок, що має один кінець на площині, а інший кінець на перпендикулярі, і повністю не лежить у цій площині і не лежить на перпендикулярі називається похилою до цієї площини. Основа похилої до площини – це точка, яка належить і площині і похилій одночасно.

Означення. Відрізок, що має один кінець в основі перпендикуляра,  на площині, а інший кінець в основі похилої, і повністю лежить у цій площині називається проекцією похилої на цю площину.

Властивості проекцій і похилих.

Властивість. Перпендикуляр коротший за похилу.

Властивість. Проекція коротша за похилу.

 Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то рівні похилі мають рівні проекції.

Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то  якщо проекції похилих рівні, то рівні похилі.

Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то більша  похила має більшу проекцію.

Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то з двох похилих більша  та, у якої більша проекція.

ТЕОРЕМА про три перпендикуляри. Якщо пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ДВОХ  ПЛОЩИН

Означення. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина перпендикулярна прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих

Позначення перпендикулярності: β^α або Ð(α; β) = 90^о  

Позначення паралельності: β||α  або Ð(α; β) = 0^о  

Ознака перпендикулярності двох площин. Якщо площина проходить через пряму перпендикулярну до другої площини, то площини перпендикулярні.

Властивості перпендикулярності двох площин

Властивість. Якщо пряма, що лежить в одній із двох площин,  перпендикулярна до лінії перетину цих площин, то вона перпендикулярна до другої.

Тест початкового рівня знань

1.  Взаємне розташування  прямих на площині:

а) перетинаються, мимобіжні

б) мимобіжні, паралельні

в) перетинаються, не перетинаються

г) перетинаються , паралельні

2. Одну і тільки одну пряму можна провести через:

а) будь які дві точки площини

б) будь які три точки площини

в) будь яку точку площини

г) будь яку вершину кута

3. Площину, до того ж єдину, можна провести

а) через  будь-які три точки

б) через будь-які чотири точки

в) через будь-які три точки на прямій

г) через три точки,що не лежать на одній прямій

4. Якщо дві площини мають спільну точку, то :

а) вони дотикаються одна до одної

б) вони співпадають

в) вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку

г) вони мають кілька спільних прямих, що проходять через цю точку

5. Якщо пряма паралельна площині, то:

а) вона не перетинає жодної прямої в площині

б) паралельна будь-якій прямій в площині

в) паралельна деяким  прямим в площині

г) лежить в площині

6. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то

а) вона паралельна другій прямій

б) вона співпадає з другою прямою

в) вона перетинає другу пряму

7. Якщо деяка пряма паралельна одній з двох паралельних площин, то:

а) вона перетинає другу площину

б) вона паралельна другій площині

в) вона лежить в другій площині

8. Якщо дві прямі, що перетинаються в одній площині, відповідно паралельні двом прямим іншої площини,  то ці площини

а) перетинаються

б) паралельні

в) співпадають

Варіант 1. БЛОК навчальних завдань. 10 клас.

1. а) Відрізок довжиною 25 см спирається кінцями на дві перпен­дикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площин дорівнюють 15 і 16 см. Обчислити проекції відрізка на кожну з площин.

б) Відрізок довжиною 25 см спирається кінцями на дві перпенди­кулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють (369)^0,5   і 20 см. Обчислити відстань від кінців відрізка до даних площин.

2. а) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну з площин відповідно дорівнюють (369)^0,5   і 20 см. Відстань між основами перпендикулярів,  проведених з кінців відрізка до площин - 12 см. Обчислити довжину даного відрізка.

б) З кінців відрізка, що лежать на двох перпендикулярних площи­нах, проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких відповідно дорівнюють 16 і 15 см. Відстань між основами цих перпен­дикулярів дорівнює 12 см. Обчислити довжину даного відрізка.

3. а) Кінці відрізка довжиною 25 см лежать на двох перпендику­лярних площинах. Проекція цього відрізка на одну з площин дорівнює (369)^0,5   см, а відстань від кінця, що належить цій площині, до другої площини дорівнює 15 см. Обчислити проекцію відрізка на другу площину та відстань від другого кінця відрізка до першої площини.

б) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекція цього відрізка на одну із площин дорівнює 20 см, а довжина перпендикуляра, проведеного з кінця відрізка до цієї площини, дорів­нює 15 см. Відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до даних площин, дорівнює 12 см. Обчислити довжину відрізка та другого перпендикуляра.

4. а) Точка віддалена на 12 і 5 см від двох перпендикулярних площин. Обчислити відстань від цієї точки до прямої перетину площин.

б) Точка віддалена на 16 см від однієї з двох перпендикулярних площин. Відстань від цієї точки до прямої перетину площин становить 20 см. Обчислити відстань від даної точки до другої площини.

5. а) Кожна з двох перпендикулярних площин містить пряму, па­ралельну до лінії їх перетину. Відстані від цих прямих до лінії перети­ну площин 5 і 12 см. Обчислити відстань між даними прямими.

б) Дві прямі, відстань між якими 17 см, належать двом перпенди­кулярним площинам і паралельні лінії їх перетину. Відстань від однієї з прямих до лінії перетину площин дорівнює 8 см. Обчислити відстань від другої прямої до цієї лінії.

6. а) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці цього відрізка віддалені від прямої перетину площин на 7 і 10 см. Перший кінець відрізка віддалений на 25 см від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин. Обчислити відстані, від другого кінця і від середини відрізка до цієї прямої.

б) Відрізок лежить в одній з двох перпендикулярних площин і не пе­ретинає іншу. Кінці відрізка віддалені від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину цих площин, на 25 і 26 см. Перший кінець відрізка віддалений від прямої перетину площин на 7 см. Обчисли­ти відстані від другого кінця і від середини відрізка до прямої перетину площин.

7. а) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці відрізка віддалені від прямої перетину цих площин на 18 і 10 см, а від прямої, яка лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин - на відстані, що відносяться як 15:13. Обчислити ці відстані та відстань від середини відрізка до за­даної прямої.

б) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці цього відрізка віддалені на 30 і 26 см від пря­мої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину пло­щин. Ці ж кінці віддалені від прямої перетину площин на відстані, що відносяться як 9:5. Обчислити ці відстані і відстань від середини відрізка до прямої перетину площин.

8. а) З точки до площини правильного трикутника зі стороною 8(3)^0,5 см проведено перпендикуляр завдовжки 5 см. Основою перпен­дикуляра є одна з вершин трикутника. Обчислити відстань від точки до сторони трикутника, яка не містить основи перпендикуляра.

б) З точки до площини правильного трикутника проведено пер­пендикуляр довжиною (69)^0,5 см. Основою перпендикуляра є одна з вершин трикутника. Відстань від точки до сторони трикутника, що не містить основи перпендикуляра, дорівнює 12 см. Обчислити відстані від даної точки до вершин трикутника.

9. а) З точки до площини рівнобедреного трикутника, основа і бічна сторона якого відповідно дорівнюють 30 і 20 см, проведено перпендикуляр довжиною 15 см. Основа цього перпендикуляра співпадає з вершиною трикутника, протилежною до його основи.
Обчислити відстань від цієї точки до основи трикутника.

б) З точки до площини рівнобедреного трикутника проведено перпендикуляр   довжиною    15 см.   Основа   цього   перпендикуляра співпадає з вершиною кута, протилежного до основи трикутника. Відстані від даної точки до основи та до її кінців відповідно дорів­нюють 20 і 25 см. Обчислити сторони трикутника.

10. а) З точки простору до площини прямокутного трикутника, гіпотенуза і катет якого відповідно дорівнюють 9 і 5 см, проведено перпендикуляр довжиною   12 см. Основа цього перпендикуляра вершина гострого кута, прилеглого до даного катета Обчислити відстань від даної точки до другого катета та до його кінців.

б) З точки до площини прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 15 і 20 см, проведено перпендикуляр довжиною 16 см. Основою перпендикуляра є вершина прямого кута. Обчислити відстань від даної точки до гіпотенузи.

11. а) З точки до площини, трикутника, сторони якого дорівнюють 13, 14 і 15 см, проведено перпендикуляр довжиною їй см. Основою цього перпендикуляра є вершина кута, що лежить проти сторони завдовжки 14 см. Обчислити відстань від даної точки до цієї сторони.

б) З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 29, 25 і 6 см, проведено перпендикуляр з основою у вершині кута, протилежного до найменшої сторони трикутника. Відстань від даної точки до прямої, що містить цю сторону, дорівнює 25 см. Обчислити відстань від точки до площини трикутника.

12. а) З точки до площини квадрата, сторона якого дорівнює 12 см, проведено перпендикуляр довжиною (112)^0,5  см. Основа цього перпендикуляра - вершина квадрата. Обчислити відстані від даної точки до інших вершин квадрата.

б) З точки до площини квадрата проведено перпендикуляр, осно­ва якого є однією з вершин квадрата. Відстані від даної точки до двох інших послідовних вершин квадрата дорівнюють (17)^0,5  і 5 см. Обчис­лити відстань від даної точки до площини квадрата.

13.  а) З точки до площини прямокутника зі сторонами 9 і 12 см, проведено перпендикуляр, основою якого є одна з вершин прямокут­ника. Відстань від  протилежної вершини прямокутника до цієї точки дорівнює 39 см. Обчистити відстань від даної точки до площини прямокутника.

б) З точки до площини прямокутника зі сторонами 6 і 8 см, про­ведено перпендикуляр довжиною 24 см. Основа перпендикуляра — вершина одного з кутів прямокутника. Обчислити відстань від даної точки до протилежної вершини прямокутника.

14.  а) З точки до площини ромба зі стороною 5 см і меншою діагоналлю 6 см проведемо перпендикуляр з основою у вершині гострого кута ромба. Відстань від даної точки до протилежної вершини ромба дорівнює 17 см. Обчислити відстань від точки до площини ромба.

б) З точки до площини ромба зі стороною 13 см і більшою діаго­наллю 24 см, проведено перпендикуляр довжиною 24 см. Основа перпендикуляра співпадає з вершиною тупого кута ромба. Обчислити відстань від даної точки до протилежної вершини ромба.

15. а) З точки до площини рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює 5 см, висота 4 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведено перпендикуляр довжиною 8 см. Основа перпендику­ляра - вершина тупого кута трапеції,. Обчислити відстань від цієї точки до вершини протилежного гострого кута трапеції.

б) З точки до площини рівнобічної трапеції, більша основа якої дорівнює 13 см, висота 12 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута, про­ведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра - вершина гострого ку­та трапеції. Відстань від даної точки до вершини протилежного тупого кута - 4(22)^0,5  см. Обчислити відстань від точки до площини трапеції.

16. а) З точки до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 13 см, висота 12 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута, проведено перпендикуляр довжиною 8(3)^0,5   см. Основа перпенди­куляра - вершина тупого кута трапеції. Обчислити відстань від да­ної точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

б) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 5 см, висота 4 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведено перпендикуляр, довжина якого 8 см. Основа перпендику­ляра - вершина гострого кута трапеції. Обчислити відстань від цієї точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

17.  а) З точки до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 24 см, бічна сторона 25 см, а більша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр довжиною 7(15)^0,5  см. Основа перпендикуляра - вершина тупого кута трапеції. Обчислити відстань від даної точки до вершини протилежного прямого кута.

б) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 20 см, бічна сторона 25 см, а менша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра ‒ вершина гострого кута трапеції. Відстань від даної точки до вершини протилежного прямого кута трапеції дорівнює 45 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трапеції.

Тематична атестація

Тема: Перпендикулярність  у просторі

                                   Контрольна робота

№ завдання	1	2	3	4
Кількість балів	2	2	4	4

       

                                          Варіант 1

1.    З точок A і B, що лежать в двох перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри AC і BD до лінії перетину площин. Обчислити довжину відрізка CD, якщо AB = 54^0,5  см, CB = 13^0,5  см, AD= 3(5)^0,5 см.

2.    Площини a і b перпендикулярні. Рівнобедрений прямокутний трикутник АВС лежить у площині так, що гіпотенуза АВ належить прямій перетину площин. Пряма В лежить у площині b, паралельна прямій перетину і віддалена від неї на 3см . Обчислити відстань від точки С до прямої В, якщо АС=4(2)^0,5 см .

3.    Квадрат АВСD і прямокутник АВСD розміщені у перпендикулярних площинах. М – середина сторони D і С . Знайти довжину відрізка СМ, якщо АВ= с, ВС= b.

4.    Через вершину В тупого кута ромба АВСD проведена пряма ВМ перпендикулярно до його площини. Обчислити відстань між прямими ВМ і АD, якщо гострий кут ромба дорівнює 45°, а його сторона – 10см.