КЛАСИФІКАЦІЯ ЕЛЕМЕНТІВ КУБА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

КЛАСИФІКАЦІЯ ЕЛЕМЕНТІВ КУБА  ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

Взагалі, куб –  сприймається нашою свідомістю, як тривимірна правильна геометрична фігура, що обмежена поверхнею, утворену правильними двовимірними чотирикутниками, тобто квадратами. Хоча, кубом можна розглядати, як фігуру, утворену за допомогою тільки 8-ми точок. Тому виникає питання, з яких точок зору можна розглядати куб? Які властивості у куба і чи змінюються вони в залежності від точки зору на куб?   На тривимірному кубі можна задавати:

·         Нуль-вимірні фігури, тобто деякі точки(такі фігури мають міру 0). Якщо куб розглядати, як фігуру, утворену за допомогою тільки 8-ми точок(восьми вершин), то такий куб вважають нуль-вимірний(точковий куб).

·         Одновимірні фігури, або, як часто говорять, лінійні фігури, тобто відрізки, різні криві лінії, різні ламані(такі фігури  мають тільки одну додатну міру, її називають довжиною); для двох одновимірних фігур задають кут між ними, це необхідно для того, щоб точно встановлювати усі можливі випадки їх взаємного розташування та орієнтацію фігур відносно певних точок зору або систем відліку. Якщо куб розглядати, як фігуру, утворену за допомогою тільки 12-ми рівних відрізків(ребер), без внутрішніх точок поверхневих квадратів, то такий куб вважають одновимірний(каркасний куб має тільки довжину 12а од. довж.).

·         Двовимірні фігури, як часто говорять, плоскі фігури, різні види поверхонь (такі фігури мають дві додатні міри, довжину і ширину,  при цьому для таких фігур вводять ще одну, квадратичну міру, тобто міру площі фігури або площі поверхні). До двовимірних фігур належать різні многокутники, тобто трикутники, чотирикутники, многокутні ламані поверхні,  або криві поверхні,  обмежені кривими лініями, тобто круги, еліпси і так далі. Якщо куб розглядати, як фігуру-поверхню, тобто взяти розгортку куба, без точок внутрішньої  частини, утворений за допомогою тільки 6-и рівних квадратів, то такий куб вважають двовимірний (порожній куб має повну поверхню 6а² кв. од.).  Якщо на шести поверхневих квадратах куба побудувати шість площин(а це двовимірні плоскі фігури), то весь тривимірний простір розбивається на 27 частин.

·         Тривимірні фігури, або ще говорять просторові(фігури  мають три додатні міри: ширина, довжина, висоти, при цьому для таких фігур вводять ще одну, кубічну міру, тобто міру об’єму фігури або міру ємності, яку обмежує двовимірна поверхня). Наприклад, якщо куб розглядати, як фігуру-об’ємну, і він містить в собі усі точки внутрішньої частини, такий куб можна утворити за допомогою двох рівних між собою прямих трикутних  призм,  в основі яких лежать рівнобедрені прямокутні трикутники і висота призми рівна меншій стороні основи, то утворений куб вважають тривимірний(наповнений куб має об’єм а³ куб. од.).

НУЛЬ-ВИМІРНІ ЕЛЕМЕНТИ КУБА

ВЕРШИНА КУБА. ВЛАСТИВОСТІ ВЕРШИН КУБА.

Означення. Вершина – це вершини квадратів з яких складається куб.  перетину трьох суміжних ребер куба.  Куба має 8 вершин. Це точки А, В, С, D, А₁ , В₁ ,С₁ ,D₁. 

Вершини куба поділяються на:

·   верхні вершини куба, - це точки А₁ , В₁ ,С₁ ,D₁;

·   нижні вершини  куба - це точки А, В, С, D;

·   сусідні вершини куба – це дві вершини, які являються кінцями сторони квадрату, з яких утворений куб. Одна вершина куба має три сусідні вершини куба. Всього 12 пар сусідніх вершин у куба;

·   протилежні вершини куба - це дві вершини, які являються протилежними вершинами  прямокутників АА₁С₁С та ВВ₁D₁D. 

Позначення куба. Для позначення куба використовують  назви восьми  вершин  куба. Куб позначають так: АВСDА₁В₁С₁D₁.

Властивості вершин куба.

1.      Знаючи положення 5-и будь-яких вершин куба однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі.

2.      Не завжди, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі.

3.      Якщо чотири вершини  куба  являються кінцями  трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі.

Звертаємо вашу увагу на те, що вершини куба  визначають дуже важливі комбінаторні властивості куба.

Вісім вершин куба задають різних 28 основних відрізків.  (Дві вершини задають відрізок на кубі, тому  =  відрізків).

Розглянемо властивості  відрізків, кінці яких  лежать тільки у вершинах куба. Ці відрізки ще називають основними лінійними елементами куба. Серед цих відрізків: 

а)12 відрізків належать до ребер куба - це сторони шести квадратів: АВ, ВС, CD, AD,  А₁В₁, В₁С₁, C₁D₁, A₁D₁, АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁) .

б)12 відрізків належить до діагоналей граней куба. Це діагоналі шести квадратів: АD₁, A₁D,  CD₁, C₁D, ВА₁, АВ₁, ВС₁, В₁С,  C₁А₁, В₁D₁, ВD, AС.

в) 4 відрізки належать до діагоналей куба: DB₁, AC₁, BD₁, CA₁.

Перша комбінаторна властивість вершин куба. Вісім вершин куба задають 28 різних відрізків, кінці яких лежать тільки у вершинах куба.

Точка, що рівновіддалена від усіх вершин куба лежить в точці перетину 4 діагоналей куба. Цю точку називають центром куба або центром симетрії куба. Ця точка рівновіддалена від усіх граней куба. Через цю центр куба  проходять:

а) усі 13 різних осей симетрій куба(три вісі симетрій проходять через центри квадратів куба, чотири вісі  симетрій містять діагоналі куба, три вісі  проходять через середини протилежних ребер куба)

б)усі  9 різних площини симетрій куба(три площини симетрії розрізають куб на дві рівні частини  горизонтально, вертикально,  поперечно, і ще шість площин симетрій, кожна з яких містить якийсь один діагональний переріз куба. 

Друга комбінаторна властивість вершин куба. Вісім вершин куба задають 20 різних січних площин куба, кожна з яких містить три вершини  куба.

Серед цих 20 площин маємо:

А) 6 межових площин(поверхневі квадрати куба), кожна з яких містить в собі  чотири вершини куба, які утворюють  квадрат поверхні куба, до речі ці площини не розрізають куб на частини.

Б) 6 січних площин(діагональні перерізи куба), кожна з яких містить в собі діагональний переріз куба, до речі, кожна з цих площин розрізає об’єм куба( а це дві рівні прямі трикутні призми) і його поверхню на дві рівні частини. Діагональний переріз  являється бісекторною площиною двогранного кута при ребрі куба, яке належить цьому перерізу.

В) 8 січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі  тільки три вершини куба, або містить трикутний переріз куба(це рівносторонній трикутник, що утворений трьома діагоналями граней куба), до речі, кожна з восьми цих площин перпендикулярна до однієї діагоналі  куба і  відрізає від куба  трикутну піраміду, яка становить шосту частину загального об’єму куба.  Іншими словами, кожна із восьми площин ділить весь об’єм  куба у відношенні 1:5, а повну поверхню куба розрізає на дві частини, у відношенні 1:3,  тобто відрізає меншу частину поверхні, що становить четверту частину повної поверхні куба. Зазначимо, кожна діагональ куба перетинає рівно дві з восьми рівносторонніх трикутних перерізів куба площин, і ці дві площини між собою паралельні і розрізають цю діагональна три рівні частини.   Діагональ куба перпендикулярна до цих обох площин. Таким чином, будь-яка діагональ куба і мимобіжні до неї(їх шість) діагоналі граней куба перпендикулярні, тобто кут між ними прямий, 90⁰.

Взагалі, для побудови площини, що перетинає куб, можна використовувати елементи, які повністю визначають положення площини у просторі. Площину, яка перетинає куб можна задати:

1)      трьома точками, що не лежать на одній прямій(неколінеарними точками);

2)      відрізком і точкою, яка їй не належить;

3)      двома відрізками, що перетинаються;

4)      двома паралельними відрізками;

5)      трикутником або будь-якою іншою плоскою фігурою, точки якою належать кубу.

Третя комбінаторна властивість вершин куба. Вісім вершин куба задають 2 правильних тетраедра в кубі, кожний з яких містить чотири вершини  куба.

Якщо вершини куба зафарбувати у шаховому порядку в два кольори, то чотири вершини одного кольору визначають перший правильний тетраедр, а чотири вершини другого кольору визначають другий правильний тетраедр. Усі висоти обох тетраедрів лежать на діагоналях куба, і дорівнюють дві треті діагоналі куба. У двох тетраедрів і куба спільна  описана сфера, а її радіус дорівнює половині діагоналі куба, що становить три чверті висоти тетраедра. У двох тетраедрів  спільна вписана сфера, її радіус дорівнює шостій частині діагоналі куба.

Кожний такий правильний тетраедр, вписаний в куб становить третю частину об’єму куба, і  довжина ребра тетраедра дорівнює .... , де а – довжина ребра куба. 

ОДНОВИМІРНІ ЕЛЕМЕНТИ КУБА

РЕБРО КУБА ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Два відрізки з кінцями на поверхні куба або у кубі можуть перетинатися, бути паралельними, або мимобіжними. За властивостями паралельного проектування на фронтальну, профільну та горизонтальну площини, однойменні проекції паралельних відрізків завжди паралельні між собою. При зображенні паралельних відрізків на папері, вони завжди зображаються такими, що належать паралельним прямим. Взагалі, справедливе й обернене твердження, якщо однойменні проекції відрізків попарно паралельні, то ці відрізки на кубі(у кубі) теж паралельні.

Означення. Ребро куба – це відрізок, що є стороною квадратів, з яких утворено поверхню куба.

Куб має 12 ребер. Їх позначають кінцями відрізків  АВ, ВС, CD, AD,  А₁В₁, В₁С₁, C₁D₁, A₁D₁, АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

Ребра куба поділяються на такі групи:

·  виміри куба – це три ребра, що виходять з однієї вершини. Виміри куба являються взаємно перпендикулярними ребрами. Одне з цих ребер вертикально розміщене(як правило це бічне ребро куба) – цей вимір  називають висотою куба(іноді говорять:  ВВ₁ - апліката куба), тобто найкоротша відстань між протилежними основами куба. Один з вимірів проходить зліва направо – це довжина куба(іноді говорять:  AD - ордината куба), і третій вимір ширина куба(іноді говорять:  АВ - абсциса куба).  В прямокутній декартовій системі координат положення куба задається своїми координатами вершин.

·  бічні ребра куба – це вертикальні ребра куба АА₁ , ВВ₁, СС₁, DD₁.

·  ребра нижньої основи – це сторони нижньої основи куба(нижнього квадрата) АВ, ВС, CD, AD. 

·  ребра верхньої основи – це сторони верхньої основи куба(верхнього квадрата) А₁В₁, В₁С₁, C₁D₁, A₁D₁.

·  суміжні ребра – це два ребра куба, що мають спільну точку, наприклад  ребра АВ, ВС та ВВ₁ , В₁С₁– це дві пари суміжних ребер куба. Для кожного ребра є чотири суміжних до нього ребра. Наприклад, для ребра  AD є чотири суміжних ребра: CD,  АВ, АА₁, DD₁.

·  протилежні ребра куба – це два ребра, які паралельні і не лежать в одній площині. Наприклад, АВ і C₁D₁. До кожного ребра  куба є тільки одне протилежне ребро куба. Всього різних пар протилежних ребер на кубі 6 пар.

·  протилежні ребра граней куба – це два ребра, які паралельні і лежать в одній площині. Наприклад, АВ і CD.

·  паралельні ребра куба – це два ребра куба, які лежать на паралельних прямих. Наприклад, AD|| A₁D₁. Кожне ребро куба має три паралельних до нього ребра. Всього різних пар паралельних ребер на кубі 18 пар.

·  мимобіжні ребра куба - це два ребра куба, які не лежать на паралельних прямих і не лежать в одній площині. Наприклад,  ВС і  DD₁ – це пара мимобіжних ребер куба. Для кожного ребра існує чотири мимобіжних до нього ребра.  Відстань між будь-якими двома мимобіжними ребрами куба рівна довжині ребра куба. Кут між мимобіжними ребрами куба прямий. Відстань між двома мимобіжними ребрами куба – це спільний перпендикуляр до цих ребер, він дорівнює довжині ребра куба. Кут між двома мимобіжними ребрами куба дорівнює 90⁰, він не залежить від розміщення цих ребер.

·  перпендикулярні ребра куба - це два ребра куба, які мають між собою прямий кут. Мимобіжні ребра куба можуть бути перпендикулярними. Наприклад,  ВС і  С₁D₁ – це пара перпендикулярних і мимобіжних ребер куба. Для кожного ребра існує чотири перпендикулярні до нього ребра.

Властивості  ребер куба  

1. Усі ребра куба рівні між собою. Довжина усіх ребер куба дорівнює 12a, де а – довжина ребра куба.
2. Об’єм куба дорівнює кубу його ребра , тобто a³, де а – довжина ребра куба.
3. Відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней куба дорівнює довжині ребра куба і не залежить від розміщення ребер.
4. Найкоротша відстань між двома паралельними ребрами куба однієї грані куба дорівнює довжині ребра куба, а найдовша відстань цими ребрами дорівнює a*2^0,5, де а – довжина ребра куба.
5. Найкоротша відстань між двома паралельними ребрами, що належать двом різним граням куба дорівнює  a*2^0,5, де а – довжина ребра куба, а найдовша відстань цими ребрами дорівнює a*3^0,5, де а – довжина ребра куба.
6. Кут між двома мимобіжними ребрами куба дорівнює 90⁰, він не залежить від розміщення цих ребер на кубі.
7. Кут між двома суміжними ребрами куба дорівнює 90⁰, він не залежить від розміщення цих ребер на кубі.
8. Дві точки, що є центрами двох паралельних ребер, які належать одному діагональному перерізу куба задають пряму, яка є віссю симетрії куба. Усіх таких симетрій куба шість.
9. Із вершини  куба до протилежної вершини куба можна  6 способами дістатися найкоротшим  шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам куба.

 Запитання для самоперевірки.

 1.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?

2. Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?

3. Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?

4. Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?

2. Чи вірно, що деякі бічні ребра куба являються перпендикулярними?

ДІАГОНАЛЬ КУБА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ

Означення. Діагональ куба – це найдовший відрізок куба, кінці якого лежать на поверхні куба.

Існує 4 діагоналі куба – найдовші відрізки на кубі, вони з’єднують дві найвіддаленіші вершини куба, одна з яких належить верхній грані, а друга належить нижній грані куба. Позначається діагональ куба: d_к , або DB₁, AC₁, BD₁, CA₁.

Властивість діагоналей куба.

• Усі діагоналі куба рівні між собою і перетинаються в центрі симетрії куба.
• Cума квадратів усіх діагоналей куба дорівнює сумі квадратів усіх ребер куба.
• Об’єм куба дорівнює d³:(3*3^0,5), де d – довжина діагоналі куба.
• Квадрат діагоналі куба дорівнює квадрату трьох його вимірів. Для діагоналей куба виконується рівність  d_к = 3^0,5a, де а – довжина ребра куба.
• Діагоналі куба в точці перетину діляться навпіл і ця точка рівновіддалена від усіх вершин, від усіх ребер, від усіх граней куба. Тобто, ця точка - центр симетрії куба.
• Гострий кут між двома діагоналями куба дорівнює  куту А₁ОВ₁ = j = 2arcsin(1:3^0,5) =70^o32’ .
• Кут між діагоналлю куба і площиною основи куба дорівнює куту A₁CA = arcsin(1:3^0,5) =35^o16’  .
• Кут між діагоналлю куба і бічним ребром куба дорівнює куту АA₁C = arccos(1:3^0,5) =54^o48’ .
• Кут між діагоналлю і мимобіжною діагоналлю грані у куба дорівнює  прямому куту, тобто 90 градусів.
• Найкоротша відстань між діагоналлю куба і мимобіжною до неї діагоналлю основи дорівнює a: 6^0,5, де а – довжина ребра куба, а найдовша відстань між ними дорівнює  2^0,5a, де а – довжина ребра куба.
•  Будь-які дві діагоналі куба є діагоналями діагонального перерізу куба, який розбиває куб на дві рівні трикутні призми.
• Dіагональ куба не є віссю симетрії куба.