Паралельність прямої і площини.

Паралельність прямої і площини.

На малюнку 374 пряма а паралельна площині α, це позначають так: а || α.

Корисною є ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

На малюнку 375 пряма m не належить площині α і m ll α, а  α. Тоді за ознакою паралельності прямої і площини, отримаємо, що m || α.

Сформулюємо властивості прямої і площини, паралельних між собою.

1. Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині знайдеться пряма, паралельна даній.

На малюнку 375 m || α, тоді в площині α існує пряма а така, що m || α. Зауважимо, що таких прямих у площині є безліч.

2. Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку цієї площини можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

3. Якщо одна з двох паралельних прямих паралельна даній площині, то друга пряма також паралельна даній площині або лежить у цій площині.

На малюнку 376 і 377: а || b і а || α. Тоді b  а (мал. 376) або b || α (мал. 377).

Приклад 1. Площина α, яка паралельна основам АВ і СD трапеції АВСD, перетинає бічні сторони АD і ВС відповідно в точках М і N. Знайти АВ, якщо М - середина АD, МN = 6 см; DС = 4 см.

Розв’язання. 1) Прямі МN і DС лежать в одній площині - площині МDС (мал. 378).

2) Припустимо, що МN  DС = К.

3) Оскільки К  МN; МN  α, то К  α. Тоді точка К є точкою перетину прямої DС і площини α, що суперечить умові. Отже, DС || МN.

4) Оскільки DС || АВ, DС || МN, то за ознакою паралельності прямих МN || АВ.

5) Оскільки DМ = МА і АВ || МN || DС, то за теоремою Фалеса: N - середина ВС. Тому МN - середня лінія трапеції АВСD.

Приклад 2. Площина α, паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає сторону АС в точці А₁, а сторону ВС в точці В₁. АС : А₁C = 3 : 2. Знайти довжину сторони АВ, якщо А₁В₁ = =6 см.

Розв’язання. 1) Аналогічно попередньому прикладу можна довести, що АВ || А₁B₁.

2) СВ₁А₁ = СВА (відповідні кути при паралельних прямих АВ і А₁В₁ та січній СВ), С - спільний кут для трикутника АСВ і трикутника А₁СВ₁. Тому ∆АСВ - ∆А₁СВ₁ (за двома кутами).

Отже, 

Задачі з теми "ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМОЇ І ПЛОЩИНИ"

1. Якщо пряма а паралельна площині d, то площина, яка проходить через а, перетинає площину d по прямій, яка паралельна а. Доведіть.

2. Точка М лежить на площині АВС, яка паралельна прямій а. Доведіть, що пряма MN, паралельна а, лежить на площині АВС.

3. Точка М міститься поза площиною АВС. Чи є серед середніх ліній трикутника МАВ така, яка паралельна : а) площині АВС; б) площині МВС?

4. Площина проходить через середини двох сусідніх сторін чотирикутника. Доведіть, що вона паралельна одній і тій самі площині.

5. Чи паралельні між собою прямі а і d, якщо вони паралельні одній і ті ж самі площині.

6. Через точку М проведено прямі, відповідно паралельні діагоналям правильного шестикутника. Чи лежать проведені прямі в одній площині?

7. Дано прямі а, d, і точку М поза ними. Скільки площин, паралельних обох даним прямим, можна провести через точку М?

8. Прямі а, b, с і d паралельні між собою. Доведіть, що площини, які проходять через а, b, с і d, перетинаються по прямій, що паралельна а або збігається  з нею.

9. Дано пряму і дві точки поза нею. Чи можна побудувати площину, яка проходить через ці точки і паралельна даній прямій?

10. Точка М міститься поза площиною паралелограма АВСD. Чи є у трикутника МАВ і МСD паралельні середні лінії?

11. Вершини чотирикутника АВСD не лежать в одній площині. Чи паралельна його діагональ АС площині, яка проходиться через середини сторін АВ,  ВС, СD?

12. АВСDА₁В₁С₁D₁ – куб. Чи паралельні площина, що проходиться через ребра ВВ₁ і СС₁, прямій, яка:

 а) проходить через центри граней АВВ₁А₁ і АDD₁А₁;

 б) центри мас трикутників АВС і А₁В₁D₁;

 в) середини відрізків АВ і А₁D₁?

13. Трикутник АМВ і трапеція СDЕF мають спільну середню лінію РТ площині, яка проходить через основу трапеції і основу трикутника?

14. Доведіть, що площина, яка проходить через середню лінію трапеції, паралельна основам трапеції.

15. Три площини попарно перетинаються. Доведіть, що лінії їх перетину перетинаються в одній точці або паралельні.

16. Точка М лежить поза площиною трикутника АВС. Чи паралельна площині трикутника пряма, яка проходить через :

а) середини відрізків МА і МВ;

б) центри мас трикутників МАС і МВС?

Практикум  розв′язання на перерізи тіл

Завдання.  

1.       Проведіть переріз через середини трьох ребер куба, які виходять з однієї вершини.Якою фігурою є такий переріз?

2.       Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через середини трьох бічних ребер куба.

3.       Точка К - середина ребра АВ тетраедра ABCD. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки D, С і К

4.       ABCD - тетраедр. Точки К і М - середини ребер AD і CD. Побудуйте переріз тетраедра площиною (ВКМ).

Алгоритм побудови перерізів.

Якщо в грані є дві точки, що належать перерізу, сполучіть їх.

Якщо в грані є лише одна точка, то варто продовжити ребро і знайдіть на його продовженні ще одну допоміжну точку. Виділіть отриманий переріз.  

Властивості паралельних площин.

Площини перетинаються  січною площиною  по паралельних прямих.

Якщо дві прямі площини α паралельні відповідно двом прямим площини β, то α || β.

Якщо деяка пряма площини α паралельна площині β, то α || β.

Якщо кожна пряма площини α паралельна площині β, то α || β.

Якщо дві прямі, одна з яких лежить у площині α ,а друга — в площині β, не мають спільних точок, то α || β.

Якщо кожні дві прямі, одна з яких лежать у площині α, а друга — в площині β, не мають спільних точок, то α || β.

Завдання.  Відрізки OA, OB, ОС не лежать в одній площині. Доведіть,що площина, яка проходить через їх середини, паралельна площині (ABC).

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

Якщо пряма і площина мають більше однієї спільної точки, тоді пряма лежить у площині.

Якщо пряма і площина не мають спільних точок, тоді вони паралельні.

Якщо пряма і площина мають 1 спільну точку, тоді пряма перетинає площину.

Якщо дві різні площини  мають  спільну  точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.