СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.

Нам вже відоме поняття скалярного добутку векторів у планіметрії, аналогічно визначається скалярний добуток і у стереометрії.

1. Скалярний добуток векторів, його властивості.

Скалярним добуток векторів  називають число 

Нагадаємо, що позначають скалярний добуток так:  ∙ .

Приклад. Знайти скалярний добуток векторів:  

Розв’язання. 

Нехай задано вектор  (х;у;z). Тоді 

Скалярний добуток вектора самого на себе  ∙  позначають ² і називають скалярним квадратом вектора.

Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату модуля цього вектора 

З останньої рівності випливає, що 

З означення скалярного добутку випливають такi його властивості.

Для будь-яких векторів , ,  і будь-якого числа λ виконується

Тема "Вектори у просторі»

Самостійна робота      Варіант-1

1.    Точки  А(-1; 0; 1),  В(5; 0; 1), C(2; 3^0,5; 1), D(2; 3^0,5; 3) є вершинами піраміди DABC.

а)  Доведіть, що бічні ребра піраміди утворюють рівні кути  з площиною основи АВС;

б) знайдіть координати основи висоти піраміди, що лежить у площині DAC.

2.    Доведіть, що прямі, симетричні відносно точки, через яку не проходять, паралельні.

Самостійна робота       Варіант-2

1.                 Точки  А (0; 8^0,5; 8^0,5), B (8^0,5; 8^0,5; 0), C (8^0,5; 0; 8^0,5), D (8^0,5; 8^0,5; 8^0,5) є вершинами піраміди.

а) Доведіть, що всі ребра піраміди рівні;

б) знайдіть координати основи бісектриси DM  грані DAC.

          2.   Доведіть, що дві площини, симетричні відносно точки, через яку не проходять, паралельні.

Самостійна робота    Варіант-3

1.                Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁  дорівнює 2. Обчисліть скалярний добуток векторів:

а) AB₁  і  CC₁;

б) AB₁  і  CD₁;

          2.    Точки А (3; -1; 1),  В (1; -1; 3), С (3; 1; -1) є вершинами трикутника. Знайдіть кут АВС.

          3.    Складіть рівняння площини, що проходить  через  точку  А(2;  3;  -1)  і перпендикулярна до прямої, якій належать  точки  В (1; 0; -1),  С (-3;  1; -2).

         4*.    Обчисліть відстань від точки А (1; 2; -7;) до площини  12x+ 4у+ 3z - 4 = 0

Самостійна робота       Варіант-4

1.                У правильній чотирикутній піраміді МABCD всі ребра дорівнюють  2,  О – точка перетину діагоналей основи. Обчисліть скалярний добуток векторів:

а) BМ  і  CD;

б) МO  і CD;