ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ДВОХ ПЛОЩИН.

ВЗАЄМНЕ   РОЗМІЩЕННЯ  ДВОХ   ПЛОЩИН.

ОЗНАКА   ПАРАЛЕЛЬНОСТІ   ПЛОЩИН

Існує три випадки взаємного розміщення двох площин у просторі. Дві площини:

1) збігаються, якщо вони мають три спільні точки, які не належать прямій;

2) перетинаються, якщо вони різні і мають спільну точку;

3) дві площини не мають спільної точки.

Доведемо, що можливий третій випадок взаємного розміщення двох площин: дві площини не мають спільної точки.

У площині α проведемо дві прямі а і b (мал. 30), які перети­наються. Через точку В₁, яка не належить α, проведемо прямі а₁||а і b₁||b;  через а₁ і b₁  проведемо площину b.

Доведемо (від супротивного), що α i β не мають спільної точки. Припустимо, що М - спільна точка площин α i β. З аксіоми  випливає, що їх перерізом є деяка пряма с. Але площина α прохо­дить через а, площина β - через а₁, причому а||а₁. Тоді с||а. Таким самим способом доводимо, що с||b. Ми прийшли до суперечності з аксіомою паралельних: у площині  α через точку В проходять дві прямі а і b, які перетинаються і паралельні прямій с. Отже, площини α i β не мають жодної спільної точки. ■

Таким чином, для двох площин α i β можливі лише три випадки:

1) α = β; 2) α Çβ = а; 3) α Çβ =Æ.

Перший і третій випадки ми знову об'єднаємо.

Означення. Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільної точки або збігаються.

Позначення паралельності площин α i β: а||β.
Теорема (ознака паралельності  двох площин).  Якщо   дві прямі,   що   перетинаються,   однієї   площини   відпо­відно паралельні двом прямим іншої площини, то ці площини паралельні.        

Істинність ознаки для випадку, коли дані площини різні, ви­пливає з наведеного вище міркування. Запишемо символічно це доведення (мал. 30).

Дано: аÎα,  bÎα, аÇb = В;  а₁Îβ, b₁Îβ; а₁||а;  b₁||b.

Довести: α||β.

Доведення   (від супротивного).   Нехай α Çβ = c.  Маємо:

 (а||а₁ аÎα, а₁ Îβ) тоді с||а; (теорема 4). (b||b₁ bÎα, b₁Îβ) тоді с||b.

Ми прийшли до суперечності з аксіомою паралельних прямих.
Отже, α||β.  .

Площини α і β можуть  збігатися (мал. 31). і в цьому випадку ознака справджується: адже збіг площин є окремий випадок їх паралельності. ■

Задачі з теми ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПЛОЩИН

1. Яким може бути взаємне розміщення площин α i β, коли відомо, що:

1) деяка пряма b, що лежить у площині α, не лежить у площині β; (дві площини перетинаються або паралельні, якщо ці площини не співпадають).

2) жодна з прямих, що лежать у площині α, не лежить у площині β? (паралельні, якщо ці площини не співпадають).

2. Чи правильне твердження, що площини паралельні, якщо:

1) пряма, яка лежить в одній площині, паралельна прямій другої площини; (ні)

2) дві прямі, які лежать в одній площині, відповідно паралельні двом прямим іншої площини(ні)?

3. Покажіть моделі паралельних площин на предметах класної обстановки.

4. Доведіть паралельність площин, в яких розміщені проти­лежні грані паралелепіпеда.

5. Діагональ і сторона многокутника паралельні площині α. Чи правильне твердження, що площина многокутника паралельна площині α, якщо многокутник має:

1) чотири сторони; (так)

2) п'ять сторін; (ні)

3) n сторін (n > 5) (ні)?

6. Дано тетраедр АВСD; точки М, N, Р є серединами ребер DА, DВ, DС. Доведіть, що пл.(МNР)||пл.(АВС).

7. Прямі а, b, с, які не лежать в одній площині, мають спільну точку О. На кожній з цих прямих узято з різних боків від точки О відповідно пари точок: А₁ і A₂, В₁ і В₂, С₁ і С₂. Доведіть, що пло­щини А₁В₁С₁ і А₂В₂С₂ паралельні, якщо OА₁=OА₂, OВ₁ = OВ₂, ОС₁ =OС₂.

8. 1) Доведіть, що коли кожна з двох прямих, які перетина­ються і лежать в площині α паралельна площині β, то ці площини паралельні.

2) Горизонтальність встановлення лімба кутомірних інстру­ментів перевіряють, користуючись двома рівнями, розміщеними на одній площині (мал. 32). Чому рівні розміщують на діаметрах?

ТЕОРЕМИ   ПРО   ПАРАЛЕЛЬНІ   ПЛОЩИНИ

Теорема. Якщо дві паралельні площини перетнуто третьою площиною, то лінії перетину паралельні.

Дано:   α||β ,    αÇγ = c,   β Çγ = b. Довести:   c||b.

Теорему доведіть самостійно (мал. 33). Досить розглянути ви­падок, коли площини α i β різні.

Теорема. Через дану точку можна провести одну і тільки одну площину, паралельну даній площині.

Доведення. Нехай точка А не належить а (мал. 34). Існування площини β, що проходить через точку А і паралельна площині α, вже було доведено. Доведемо єдиність такої площини.

Припустимо, що через точку А проходить площина β₁, яка паралельна α і не збіга­ється з β. Тоді за аксіомою  площини β і β₁, перетинаються по деякій прямій m (мал- 34). Проведемо в площині α пряму l, мимобіжну з m через l і А проведемо площину γ. Ця площина перетне площини β і β₁ відповідно по прямих b і b₁. Згідно з попередньою теоремою  маємо: b||l і b₁||l, що суперечить аксіомі паралельних прямих. Отже, припущення про існування площи­ни β₁ неправильне.

Істинність теореми для випадку, коли точка В належить площині α, не потребує докладних пояснень. У цьому випадку єдиною площиною, яка проходить через В і паралельна α, є та сама площина α.

Наслідок. Якщо кожна з двох за­даних площин паралельна третій площині, то дані дві площини паралельні між собою.

Доведіть самостійно, наприклад, спо­собом  від супротивного 

Задача. Через кожну з двох мимобіжних прямих провести площину так, щоб ці площини були паралельні.

Розв'язання. Через довільну точ­ку М прямої а проведемо пряму а₁ пара­лельну прямій b (мал. 36); через прямі а і а₁ проведемо площину α. Аналогічно проводимо площину β.   Площини α і β паралельні згідно з ознакою паралельності площин.

Задача має єдиний розв'язок (цього не будемо доводити).

Задачі

1. Яким може бути взаємне розміщення прямих а і b, кожна  з яких лежить в одній з двох різних паралельних площин?(або мимобіжні або паралельні)

2. Чи можуть бути паралельними прямі, утворені внаслідок перетину двох площин, які перетинаються, третьою площиною? (так)

3. Доведіть, що коли площина перетинає одну з паралельних пло­щин, то вона перетинає і другу.

4. Доведіть, що коли пряма пере­тинає одну з двох паралельних пло­щин, то вона перетинає й другу.

5. 1) Закінчіть формулювання теореми: «Два паралельні відрізки,
кінці яких належать різним паралель­ним площинам, мають...»(однакові довжини). Доведіть цю теорему.

2) Чи можуть мати однакові дов­жини два непаралельні відрізки, кін­ці яких належать різним паралель­ним площинам? (так).

6. Через дану пряму проведіть площину, паралельну даній площині. Дослідіть розв'язок.

Дано:  α||α₁,  β||β₁  βÇα = c. β₁Çα₁= c₁. 

Довести:   c||c₁  .

7. Побудуйте переріз паралеле­піпеда АВСDА₁В₁С₁D₁ площиною α,

що проходить через вершини А, С і точку М ребра A₁В₁ 

Розв'язання. Переріз площини α з двома гранями діста­немо, провівши відрізки АС і АМ. Лінія перетину площини а з гранню А₁В₁С₁D₁ паралельна (АС), тому про­водимо МN||АС. Нарешті, будуємо відрізок NС. Трапеція АМNС - шуканий переріз. Якщо М — В₁, то шуканий переріз є трикутник АВ₁С, а якщо М = А₁, то переріз — паралелограм АА₁С₁С. Розв'язок єдиний.

8. Побудуйте переріз тетраедра АВСD площиною, що прохо­дить через внутрішню точку М ребра АВ  і  паралельна грані AВС.

9. Через вершину тетраедра проведено площину, паралельну протилежній грані. Побудуйте лінії перетину цієї площини з пло­щинами решти граней тетраедра.

10. На ребрах АD і В₁С₁ паралелепіпеда АВСDА₁В₁С₁D₁  дано внутрішні точки М і N. Побудуйте переріз паралелепіпеда пло­щиною, що проходить через точки М, N і паралельна ребру АВ.

11. Побудуйте   переріз   куба   АВСDА₁В₁С₁D₁  площиною,   яка

проходить  через  вершину В і середини ребер СС₁ і А₁D₁.

 

ПАРАЛЕЛЬНА ПРОЕКЦІЯ ФІГУРИ.

ВЛАСТИВОСТІ ПАРАЛЕЛЬНОЇ  ПРОЕКЦІЇ

У цьому і наступному параграфах сформульовано правила зо­бражень, якими користуються в стереометрії. Насамперед введемо кілька нових понять.

Нехай дано площину a і  пряма l яка   перетинає a   Візьмемо довільну точку А₁, через і. проведемо пряму l₁, паралельну прямій l.   Пряма   l₁,   перетне  a в деякій точці А. Утворену таким способом точку  А назвемо проекцією точки А₁ на площину a при проектуванні паралельно прямої l (коротше, точка   А - паралельна  проекція точки А₁).

Означення. Пара­лельною проекцією фігури Ф₁ назвемо    множину   Ф    паралельних проекцій усіх точок цієї фігури.

 Уявлення про паралельну проекцію   фігури   матимемо,   розгля­даючи тінь, яку кидає   на  стіну в звичний день картонна або дротяна  модель цієї фігури 

Сонячні промені можна наближено вважати паралельними через велику відстань від Сонця до Землі.
Модель   правильного шестикутника    А₁В₁С₁D₁E₁F₁    кидає на стіну тінь  у вигляді многокутника    АВСDЕF.   Розглядаючи тінь  (при   різних   положеннях  площини    шестикутника   відносно площини стіни),   можна висловити декілька гіпотез про властивості паралельного  проектування. 

  Форму­ючи   ці   властивості,     припуст'имемо,  що проектування  здійснюється    паралельно   прямій    l, не паралельній прямим чи відрізкам, що проектуються.

Властивість 1. Проекція прямої є пряма.

Властивість 2.   Проекції   паралельних   прямих   паралельні.

Властивість 3. Відношення довжин проекцій двох паралельних відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, що проек­туються.

На цих доведеннях ми не спинятимемося.

Задачі на паралельне проектування у просторі.

1. Дано три різні точки. Скільки точок може утворитися на  площині проекцій при проектуванні даних точок? (одна, дві, три)

2. Якою фігурою є проекція проектуючої прямої? (точка)

3. Якою фігурою може бути проекція:

1) площини; (площиною або прямою)

2) півплощини; (півплощиною, променем або прямою)

3) кута, відмінного від розгорнутого (кутом,  променем або прямою)?

4. В якому випадку:

1) проекція точки збігається з цією точ­кою;  

2) проекція прямої збігається з цією прямою?

5. В якому випадку буде неправильним твердження: «Проек­ції паралельних прямих паралельні»? (Якщо ці прямі є проектуючими)

6. Відомо, що відрізок і його проекція мають рівні довжини. Як може бути розміщений даний відрізок відносно площини про­екцій?(паралельно)

7. 1) Які фігури можна дістати, проектуючи на площину об'єднання двох прямих, що перетинаються? (прямі, що перетинаються або пряму)

2) Які фігури можна дістати, проектуючи на площину об'єд­нання двох мимобіжних прямих? (прямі, що перетинаються або паралельні прямі і точку, яка не належить ій).

8. 1°) Якщо проекції двох прямих паралельні, то чи правильне
твердження, що паралельні  й прямі,  які проектуються?(ні).

2) Дано мимобіжні прямі а, b і площину проекцій a. Проведіть пряму l так, щоб при проектуванні паралельно l проекції прямих а і b були  паралельні.

9. З однієї точки виходять три промені, що не лежать в одній площині. Якою фігурою може бути проекція об'єднання цих про­менів? (об’єднання двох  або трьох різних променів, що мають спільний початок)

10. Відрізок АВ перетинає площину проекцій у точці М. Його проекцією є відрізок А₁В₁. Відомо: АВ= m, А₁М:МВ₁ = p:q. Знайдіть АМ і МВ. (mp(p + q)^-1; mq(p + q)^-1;

ЗОБРАЖЕННЯ   ФІГУР   У   СТЕРЕОМЕТРІЇ

У стереометрії зображенням фігури (оригіналу) називатимемо будь-яку фігуру, подібну паралельній проекції даної фігури на деяку площину. Для даної фігури форма її зображення залежить від положення оригіналу відносно площини проекцій, а також від вибору-прямої /, паралельно якій виконують проектування.

Задачу побудови зображення фігури вважають розв'язаною, якщо побудовано будь-яке зображення фігури, досить наочне і зручне для проведення на ньому додаткових ліній. Способи побу­дови зображень, якими ми будемо користуватися, грунтуються на властивостях паралельного проектування.

Д. Трикутник. Спостерігаю­чи тінь моделі трикутника,  природно припустити, що проекція цього трикутника може бути трикут­ником будь-якої форми. Правильне таке твердження: довільний трикут­ник, який лежить у площині проек­цій, можна вважати зображенням даного трикутника.

Зокрема, рівносторонній трикутник       можна зображати у вигляді будь-якого

різностороннього трикутника. Приходимо до висновку: при пара­лельному проектуванні величина кута і відношення довжин не-паралельних відрізків,  взагалі кажучи, не зберігаються.

Властивість  3 паралельної проекції дає можливість, зокрема, Зробити висновок, що медіана трикутника зображається медіаною зображення цього трикутника .

2.      Паралелограм. Оскільки паралельність прямих при
паралельному проектуванні зберігається, то зображенням пара­лелограма (зокрема, прямокутника, ромба, квадрата) є паралелограм Довжини сторін і величини кутів цього паралело­грама (зображення) можна взяти довільно.

Для обгрунтування останнього твердження досить застосувати правило зображення трикутника (пункт 1) до трикутника, утворе­ного після проведення діагоналі паралелограма-оригіналу (мал. 44).

3.      Трапеція. Властивості паралельної проекції дають можливість зробити висновок, що трапеція А1В1С1О1 зобразиться у вигляді трапеції АВСО , в якої відношення основ дорівнює відношенню основ оригіналу.

Рівнобедрена трапеція має вісь симетрії. Користуючись цим, побудуємо зображення висоти [ОЕ] цієї трапеції: \ВN\~^NА\, \СМ\=\МО\, №)\\(ММ).

Задачі

 1°. Трикутник АВС є проекцією трикутника . У трикутнику АВСпроведено з вершини бісектрису, медіану і висоту. Чи будуть проекції цих відрізків бісектрисою, медіаною і висотою АВС?

2. Дано зображення рівнобедреного трикутника у вигляді гдабізвостороннього трикутника. На цьому зображенні побудуйте: 1)зображення бісектриси кута при вершині, 2) зображення перпендикуляра до основи, проведеного через середину бічної сторони. 

3. Дано зображення трикутника і двох його висот. Побудуйте зображення  центра круга,  описаного навколо трикутника-оригінала

4. Чи може: 1) зображенням заданого чотирикутника бути довільний чотирикутник; 2) зображенням трапеції бути паралелограма; 3) зображенням ромба — квадрат?

5. 1) Які з властивостей ромба збережуться і в зображенні ромба? Які можуть не зберегтися? 2) Які властивості прямо­кутника збереже його проекція?

6.Трапеція АВСН є проекцією трапеції  на площину, що проходить через (АВ). Чи рівні довжини середніх ліній цих трапецій, якщо: 1) (АВ) \\ (СР); 

7.  На зображенні правильного шестикутника побудуйте зображення: 1) апофеми шестикутника; 2) бісектриси одного з його зовнішніх кутів; 3) перпендикуляра, проведеного через центр до однієї з менших діагоналей.

8.  Побудуйте на зображенні ромба зображення його висоти, якщо кут ромба дорівнює 45°.

9. Усі ребра тетраедра АВСВ мають рівні довжини, К — середина ребра ВВ. 

1) Побудуйте дві прямі КМ і Кії, які перпен­дикулярні відповідно до (АН) і (ОС) і перетинають їх у точках М і N. 

2) Побудуйте точку перетину площини СМН з прямою, яка сполучає вершину V і точку перетину медіан протилежної грані. 

3) Знайдіть площу трикутника КМИ, взявши довжину кожного ребра тетраедра такою, що дорівнює а.