Тетраедр в просторі (трикутна піраміда)

Перша спроба узагальнення на -1 вимірне тіло в геометрії Евкліда. Далі подана таблиця багатовимірних атрибутів в багатовимірних гіпертетраедрах. Поняття фігури ВЕРША, що має  -1 вимір, виникає

при побудові систематизації у вигляді наступної таблиці:

В попередній статті ми обчислювали площу, рівняння висоти, медіани і бісектриси, якщо задано трикутник на площині 3 точками. З цієї статті Ви навчитеся обчислвати характеристики тривимірного тіла - тетраедра (трикутної піраміди). Крім розглянутих вище параметрів, тут потрібно знайти рівняння грані, довжину висоти, всеможливі кути, площу грані (трикутника), ну і на закуску об'єм піраміди. Розрахунків буде багато, тож не гайте часу і починайте вивчати інструкцію з обчислень.
Я і у випадку трикутника на площині, для трикутної піраміди ми теж написали відповідний код в математичному калькуяторі, але про це піде мова вкінці уроку.

Приклад 1. Тетраедр в просторі задано вершинами
A1(2;3;1), A2(4;2;1), A3(2;1;0), A4(5;2;10).
Потрібно знайти:
1) рівняння грані A1A2A3;
2) рівняння висоти піраміди, яка проходить через вершину A4 ;
3) довжину цієї висоти;
4) кут між ребром A1A4 і гранню A1A2A3 в градусах;
5) площу грані A1A2A3;
6) oб'єм піраміди.

Розв'язок.Виконуємо обчислення всіх величин в такому порядку.
1) Рівняння грані A1A2A3
Запишемо рівняння площини у вигляді
.
Оскільки всі три точки належать цій площині, то, підставляючи їх по черзі отримаємо систему рівнянь

В результаті обчислень отримаємо значення
.
Підставляючи в початкове рівняння матимемо
, або .

2) Рівняння висоти піраміди, яка проходить через вершину A4
Запишемо рівняння висоти піраміди, яка проходить через вершину A4
.

3) Висота, проведена з вершини A4

Знайдемо висоту, для цього знайдемо 
Висоту знайдемо враховуючи рівняння грані , за формулою

4) Кут между ребром A 1 A 4 и Гран A 1 A 2 A 3 в градусах

Знайдемо кут між ребром  і гранню  () в градусах. Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки 
, або 
Знайдемо синус кута за формулою

Підставимо значення

Знайдемо значення кута 

5) Площа грані A1A2A3

Площу грані  знайдемо за формулою модуля векторного добутку

Обчислюємо вектори на яких побудована грань


Знаходимо площу грані за формулою

6) Об'єм піраміди

Знайдемо oб'єм піраміди за формулою мішаного добутку
, де

Складаємо визначник третього порядку та обчислюємо його

На цьому всі розрахунки.

Мішаний добуток векторів.

Мішаний добуток векторів. Його властивості

Мішаним добутком трьох векторів називається число, яке рівне векторному добутку перших двох векторів , помноженому скалярно на третій вектор . Векторно це можна подати формулою

Так як вектори  на практиці задають в координатній формі, то їх мішаний добуток рівний визначникові, побудованому на координатах векторів

В силу того, що векторний добуток антикомутативний, а скалярний добуток комутативний, то циклічна перестановка векторів в мішаному добутку не змінює його значення. Перестановка двох сусідніх векторів змінює знак на протилежний


Запам'ятайте наступне правило: мішаний добуток векторів додатній, якщо вони утворюють праву трійку та від'ємний – якщо ліву.

Геометричні властивості мішаного добутку

1. Об'єм паралепіпеда, побудованого на векторах  рівний модулю мішаного добутку цих векторів

2. Об'єм чотирикутної піраміди рівний третині модуля мішаного добутку

3. Об'єм трикутної піраміди рівний одній шостій модуля мішаного добутк

4. Умова компланарності векторів: три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли їх мішаний добуток рівний ную

В координатах умова компланарності означає рівність нулю визначника

На цьому оротка теорія завершена і можна переходити до практичних занять.

Завдання на обчислення мішаного добутку векторів

Приклад 1. Визначити, якою трійкою (правою чи лівою) є вектори
1)
2) 
3) 
4)
5) 

Розв'язок. Знайдемо мішаний добуток і за знаком з'ясуємо, яку трійку векторів вони утворюють

1) Виконуємо обчислення везначника побудованого на перших трьох векторах


Вектори утворюють праву трійку ().

2) 

Вектори утворюють праву трійку ().

3) Знаходимо визначник третього порядку


Вектори утворюють ліву трійку, оскільки отримали від'ємний визначник ().

4) 

Вектори утворюють праву трійку ().

5)

Вектори утворюють ліву трійку ().

6)

Дані вектори лінійно залежні.

Приклад 2. З'ясувати лінійну залежність векторів
1)
2)
3)

Розв'язок. Знайдемо мішаний добуток і перевіримо чи відмінні від нуля визначники
1) 

Визначник рівний нулю, отже робимо висновок про лінійну залежність веторів.

2) Знаходимо визначик побудований на трьох веторах


Вектори лінійно незалежні () та утворюють ліву трійку.

3) Обчислюємо мішаний добуток векторів


Вектори лінійно залежні ().

Таким методом можна розв'язати безліч інших задач, все в кінцевому результаті зводиться до відшукання визначників третього порядку. Знаходимо визначник, аналізуємо його значення і приймаємо потрібну відповідь. Інші задачі стосуються обчислення площ фігур (чотирикутники, піраміди), яі задані в просторі координатами. Знаходити об'єми за допомогою мішаного добутку будемо в наступних уроках.