Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Сформулюємо найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

1. Через пряму і точку, що не лежать на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну(мал. 359).

2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну (мал.360).

З аксіоми С_IV та розглянутих наслідків випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що не лежить на ній;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задавання площини буде розглянуто у подальшому.

Приклад. Дано площину α і паралелограм АВСD. Чи може площині а належати: 1) тільки одна вершина паралелограма; 2) тільки дві вершини паралелограма; 3) тільки три вершини паралелограма?

Розв’язання. 1) Так (мал. 361); 2) так (мал. 362);

3) Припустимо, що може бути розташування площини ос і паралелограма АВСD, при якому три вершини паралелограма А, В і D належать площині α, а вершина С - ні (мал. 363). Проведемо діагоналі АС і ВD. За властивістю діагоналей паралелограма, вони перетинаються в точці О. Оскільки B  α і D  α, то ВD  α, а тому і точка О належить α. Оскільки А  α і О  α, то АО α. Оскільки точка С належить прямій АО, а пряма АО належить площині α, то і точка С належить площині α. Тому наше припущення не вірне. Не можуть тільки три вершини паралелограма АВСDналежати площині α.

ОСНОВНИЙ     РІВЕНЬ       ПІДГОТОВКИ

Завдання для самостійного опрацювання

Варіант 1

1. Дано шість точок, які не лежать в одній площині. Чи можуть які-небудь п’ять з цих точок лежати на одній прямій? Відповідь обґрунтувати.

2. Пряма АС і точки В, D не лежать в одній площині. Довести, що прямі АС і ВD не паралельні.

3. Довести, що чотирикутник, у якого  перетинаються продовження двох протилежних сторін, лежить в одній площині.

4. На ребрах АА₁ і ВВ₁  куба АВСDА₁В₁С₁D₁ взято відповідно точки X і У. Побудувати точку перетину прямої ХУ з площиною А₁В₁С₁.

                   
                                   Варіант 2 

1.Чи належить точка К прямої MN  площині  ромба
ABCD, якщо точка М належить на стороні AD, a  N —  стороні ВС?

2. Дано прямокутник ABCD  i точка М, що не  належить його площині. Чи перетинаються площини ABM i MDC?

3. Три вершини паралелограма лежать в одній площині. Чи можна твердити, що й четверта його вершина лежить в цій площині?  Обґрунтувати.

4. Точка А і В належать площині α, а точка С — їй не належить.

1)  На прямих СА і СВ вказати точки М і N відповідно, що лежать з

точкою  С в різних півпросторах відносно площині α.

2) Чи належить пряма АХ площині СМN, де Х — довільна точка площини α?

3)  Зобразити пряму перетину площини α з площиною AMN.

                                                        Варіант 3

1.     Пряма α перетинає суміжні сторони прямокутника. Чи буде вона лежить в площині цього прямокутника? Чи буде вона лежить в площині цього прямокутника ?             

2.     Дано трикутник АВС і точка S, що не належить його площі. Точка М і N -середина відрізків АС і SC відповідно. Чи перетинаються площини MNB і ABS?

3.     Три точки А, В, С належать площині α, а точка D- їй не належить. Чи може  чотирикутник ABCD бути трапецією? Обґрунтувати.

4.     Точка А і В належать одному півпростору, а точка С- іншому відносно  деякої площини α.                                                                    

1)  Вказати відрізки, утворені цими точками, які перетинають площину α.

2) Чи належить пряма СХ площині АВС, де Х- довільна точка площини α.                

3) Зобразити пряму, яка належить площинам α і АВС.