Аксіоми стереометрії.

Аксіоми стереометрії.

Всі аксіоми, введені нами у планіметрії виконуються у стереометрії.

У планіметрії усі фігури, які ми розглядали, розміщалися на одній площині. У стереометрії ж можна розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цих формулювання аксіоми паралельності площин (див. розділ І, §5, п. 1), потребує уточнення у порівнянні з викладом її у курсі стереометрії. Це уточнення буде подано у §2.

Введення у стереометрії нового поняття - площини потребує розширення системи аксіом аксіомами, які б виражали властивості точок, прямих і площин у просторі. Введемо нову групу аксіом - групу аксіом С.

С_I. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.

На малюнку 353 точка М і N належать площині α (площина α проходить через ці точки), а точки С, К і L - не належать цій площині. Для запису цього, як і планіметрії, використовують значки  і . Наприклад, М  α; К  α.

С_ІI. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки прямої належать цій площині.

У цьому випадку кажуть, що пряма належить площині, або площина проходить через пряму. На малюнку 354 точки С і D прямої m належать площині α, тому і пряма m, якій належать ці точки, належить площині α.

Це записують так: m  α. Запис n  α означає, що пряма n не належить площині α (мал. 355 і мал. 356), тобто існує така точка прямої n, яка не належить площині α. На малюнку 355 пряма nта площина мають спільну точку К. Говорять, що пряма n і площина α перетинаються в точці К. Це записують так: n  α = К.

Якщо через пряму m проходять дві різні площини α і β, то говорять, що площини α і βперетинаються по прямій m (мал. 357); записують це так: α  β = m.

С_III. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

На малюнку 357 площини α і β мають спільну точку Р (точка Р належить як площині α, так і площині β, яка в свою чергу, належить прямій m. Аксіома С_III стверджує, що площини α і βперетинаються по прямій m.

С_ІV. Через будь-які три точки, які не належать одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

На малюнку 358 точки А, В і С не належать одній прямій. Аксіома С_IV стверджує, що існує одна площина а така, що А  α, В  α, С  α.

Основні фігури стереометрії: точка, пряма, площина.

Точки позначають великими латинськими літерами: А, В, С₁, С₂, С₃, …. і так далі.

Прямі позначають маленькими латинськими літерами:  а, b, с₁, с₂, с₃, …. і так далі.

Площини позначають маленькими грецькими літерами:  j, δ, α, β, γ, ω, …. і так далі.

Аксіома 1. (встановлює непорожність точкового простору). Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать цій площині.

Аксіома 2. (встановлює фігуру, яка лежить у перетині двох площин). Якщо дві різіні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Аксіома 3. (встановлює правило утворення однієї площини) Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідки із аксіом.

Простір складається із безлічі точок.

Через три точки проходить тільки одна площина.

Через пряму і точку можна провести одну і тільки одну площину.

Через чотири точки, що не належать одній площині, можна провести чотири площини. Такі чотири точки визначають: просторовий чотирикутник; вершини трикутної піраміди.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі.

 Дві прямі у просторі перетинаються в одній точці; в багатьох точках;

Дві прямі у просторі не перетинаються і лежать в одній площині – це паралельні прямі;

Дві прямі у просторі не перетинаються і не лежать в одній площині – це мимобіжні прямі.

Взаємне розміщення двох площин у просторі.

Дві площини у просторі не перетинаються – ці площини паралельні.

Дві площини у просторі перетинаються по прямій.

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі.

Пряма і площина мають одну спільну точку;

Пряма і площина не мають спільних точок – це пряма паралельна плошині;

Пряма і площина мають дві і більше спільних точок – це пряма лежить у площині;

Аксіоми стереометрії, їх наслідки. Взаємне поло­ження двох прямих.

1.    Через дві точки можна провести ... площин.

2.    Через три точки можна провести ... площин.

3.    Якщо дві площини мають спільну точки, то вони ...

4.    Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони ...

3. Через три промені, які виходять з однієї точки, можна провести ... площин, якщо .. .

4. Через дану точку в просторі можна провести ... пря­мих, паралельних даній площині.

5. Якщо пряма АВ паралельну пл. a, то на площині можна зна­йти ... прямих, паралельних АВ.

Паралельність прямої і площини.

Пряма і площина можуть: перетинатися в одній точці; бути паралельними; перетинатися у багатьох точках.

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Властивість. Якщо через пряму, паралельну площині, провести другу площину, яка перетинає першу, то пряма перетину площин паралельна першій площині.

 Паралельність прямої і площини.

1. Відстань між двома протилежними ребрами куба з ребром а дорівнює ...

2. Твердження: «Якщо дві паралельні прямі однієї площини паралельні двом паралельним прямим другої площини, то такі площини паралельні  є ...

3. Різних пар паралельних ребер у кубі буде ...

4. Різних пар паралельних ребер у паралелепіпеді . ..

5. Якщо пряма а лежить на площині a, а пряма b пе­ретинає a, не перетинаючись з а, то через прямі а і b площину провести .. . (можна, не можна).

6. З точки Е проведено 2 промені, що перетинають паралельні прямі а і b відповідно в точках А, В і С, D. Якщо DА = 10 см, АВ = 5 см і АС = 6 см, то BD = …

Основні властивості паралельних проекцій

З двох тверджень:

1) Якщо проекції двох прямих паралельні, то і самі прямі паралельні.

2) Якщо проекції двох прямих перпендикулярні, то і самі прямі перпендикулярні, вірним буде тверджен­ня ...

Проекцією паралелограму на площину може бути ... (паралелограм, квадрат, прямокутник, трикутник, трапе­ція, пряма)1.

Проекцією кола на площину може бути ...

При побудові площини, яка проходить через дану точку, паралельно двом заданим прямим, можуть тра­питись такі випадки: ...

Щоб перетнути куб площиною, яка проходить через три (чотири, шість) точки, розміщені на мимобіжних ребрах його, треба виконати побудову ...

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Сформулюємо найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

1. Через пряму і точку, що не лежать на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну(мал. 359).

2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну (мал.360).

З аксіоми С_IV та розглянутих наслідків випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що не лежить на ній;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задавання площини буде розглянуто у подальшому.

Приклад. Дано площину α і паралелограм АВСD. Чи може площині а належати: 1) тільки одна вершина паралелограма; 2) тільки дві вершини паралелограма; 3) тільки три вершини паралелограма?

Розв’язання. 1) Так (мал. 361); 2) так (мал. 362);

3) Припустимо, що може бути розташування площини ос і паралелограма АВСD, при якому три вершини паралелограма А, В і D належать площині α, а вершина С - ні (мал. 363). Проведемо діагоналі АС і ВD. За властивістю діагоналей паралелограма, вони перетинаються в точці О. Оскільки B  α і D  α, то ВD  α, а тому і точка О належить α. Оскільки А  α і О  α, то АО α. Оскільки точка С належить прямій АО, а пряма АО належить площині α, то і точка С належить площині α. Тому наше припущення не вірне. Не можуть тільки три вершини паралелограма АВСDналежати площині α.



Варіант 1

1.Чи належить точка К прямої MN  площині

 ромба ABCD, якщо точка М належить стороні

AD, a  N —  стороні ВС? ( див. мал. ) 

2. Дано прямокутник ABCD  i точка М, що не

належить його площині. Чи перетинаються площини ABM i MDC?

3. Три вершини паралелограма лежать в одній площині. Чи можна твердити, що й четверта його вершина лежить в цій площині?  Обґрунтувати.

4. Точка А і В належать площині α, а точка С — їй не належить.

1)  На прямих СА і СВ вказати точки М і N відповідно, що лежать з

точкою  С в різних півпросторах відносно площині α.

2) Чи належить пряма АХ площині СМN, де Х — довільна точка площини α?

3)  Зобразити пряму перетину площини α з площиною AMN.

                                                    Варіант 2

1. Пряма α перетинає суміжні сторони прямокутника. Чи буде вона лежить в площині цього прямокутника? Чи буде вона лежить в площині цього прямокутника ?                

2.  Дано трикутник АВС і точка S, що не належить його площі. Точка М і N -середина відрізків АС і SC відповідно. Чи перетинаються площини MNB і ABS?

3.  Три точки А, В, С належать площині α, а точка D- їй не належить. Чи може  чотирикутник ABCD бути трапецією? Обґрунтувати.

4.       Точка А і В належать одному півпростору, а точка С- іншому відносно  деякої площини α.                                                                                                                                      1)  Вказати відрізки, утворені цими точками, які перетинають площину α.

2) Чи належить пряма СХ площині АВС, де Х- довільна точка площини α.                 3) Зобразити пряму, яка належить площинам α і АВС.                                                        

                                                           Варіант 3      

1.    Пряма α перетинає коло у двох точках. Чи лежать ця пряма у площині кола?

2.    Дано трикутник АВС і точка S, що не належать площині трикутника. Точка М і К - середина відрізка ВС і АС відповідно. Чи перетинаються площини ASM і BMK?

3.    Площина α проходить через вершину А і В трикутника АВС і точку М, яка є серединою сторони ВС.  Довести,що точка С належить площині α.

4.    Відрізок АВ перетинає деяку площину  α, а відрізок АС – її не  перетинає α.

1) Вказати точки,які лежать в одному,а які – в різних пів сторонах, відносно площини α                                                               .

2) Чи належить пряма ВХ площині АВС, де Х – довільна точка площини α ?

3) Зобразити пряму, яка належить площинам α і АВС.

                         Варіант 4

1.    Пряма a і b перетинаються. Точка А і В належать прямій  α, а точка С – прямій b. Чи належать прямі  a і b площині АВС?

2.    Дано трикутник АВСD і точку S, яка не належить його площині. Чи перетинаються площини BSD і MNK,де M, N, K – середини відрізків АВ, ВС, ВS відповідно?

3.    Дано десять точок, які не лежать в одній площині. Чи можуть будь – які дев’ять з них лежати на одній прямій? Обґрунтуй.

4.     Точка А і В належать одному, а точка С і D – іншому півпросторам відносно площини  α.