10 клас. Геометрія. Дистанційне навчання : червня 2014

середа, 18 червня 2014 р.

Довідник властивостей плоского чотирикутника та формули

http://4cutnuk.blogspot.com/2014/05/4.html
тут зібрана вся інформація про властивості плоского чотирикутника та формули

Трикутник. Довідник властивостей і формул

http://trukytnuc.blogspot.com/2014/04/blog-post.html
тут знаходиться вся інформація про властивості трикутника

вівторок, 17 червня 2014 р.

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Сформулюємо найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

1. Через пряму і точку, що не лежать на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну(мал. 359).

2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну (мал.360).

З аксіоми С_IV та розглянутих наслідків випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що не лежить на ній;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задавання площини буде розглянуто у подальшому.

Приклад. Дано площину α і паралелограм АВСD. Чи може площині а належати: 1) тільки одна вершина паралелограма; 2) тільки дві вершини паралелограма; 3) тільки три вершини паралелограма?

Розв’язання. 1) Так (мал. 361); 2) так (мал. 362);

3) Припустимо, що може бути розташування площини ос і паралелограма АВСD, при якому три вершини паралелограма А, В і D належать площині α, а вершина С - ні (мал. 363). Проведемо діагоналі АС і ВD. За властивістю діагоналей паралелограма, вони перетинаються в точці О. Оскільки B α і D α, то ВD α, а тому і точка О належить α. Оскільки А α і О α, то АО α. Оскільки точка С належить прямій АО, а пряма АО належить площині α, то і точка С належить площині α. Тому наше припущення не вірне. Не можуть тільки три вершини паралелограма АВСDналежати площині α.

ОСНОВНИЙ РІВЕНЬ ПІДГОТОВКИ

Завдання для самостійного опрацювання

Варіант 1

1. Дано шість точок, які не лежать в одній площині. Чи можуть які-небудь п’ять з цих точок лежати на одній прямій? Відповідь обґрунтувати.

2. Пряма АС і точки В, D не лежать в одній площині. Довести, що прямі АС і ВD не паралельні.

3. Довести, що чотирикутник, у якого перетинаються продовження двох протилежних сторін, лежить в одній площині.

4. На ребрах АА₁ і ВВ₁ куба АВСDА₁В₁С₁D₁ взято відповідно точки X і У. Побудувати точку перетину прямої ХУ з площиною А₁В₁С₁.

Варіант 2

1.Чи належить точка К прямої MN площині ромба
ABCD, якщо точка М належить на стороні AD, a N — стороні ВС?

2. Дано прямокутник ABCD i точка М, що не належить його площині. Чи перетинаються площини ABM i MDC?

3. Три вершини паралелограма лежать в одній площині. Чи можна твердити, що й четверта його вершина лежить в цій площині? Обґрунтувати.

4. Точка А і В належать площині α, а точка С — їй не належить.

1) На прямих СА і СВ вказати точки М і N відповідно, що лежать з

точкою С в різних півпросторах відносно площині α.

2) Чи належить пряма АХ площині СМN, де Х — довільна точка площини α?

3) Зобразити пряму перетину площини α з площиною AMN.

Варіант 3

1. Пряма α перетинає суміжні сторони прямокутника. Чи буде вона лежить в площині цього прямокутника? Чи буде вона лежить в площині цього прямокутника ?

2. Дано трикутник АВС і точка S, що не належить його площі. Точка М і N -середина відрізків АС і SC відповідно. Чи перетинаються площини MNB і ABS?

3. Три точки А, В, С належать площині α, а точка D- їй не належить. Чи може чотирикутник ABCD бути трапецією? Обґрунтувати.

4. Точка А і В належать одному півпростору, а точка С- іншому відносно деякої площини α.

1) Вказати відрізки, утворені цими точками, які перетинають площину α.

2) Чи належить пряма СХ площині АВС, де Х- довільна точка площини α.

3) Зобразити пряму, яка належить площинам α і АВС.

Аксіоми стереометрії.

Аксіоми стереометрії.

Всі аксіоми, введені нами у планіметрії виконуються у стереометрії.

У планіметрії усі фігури, які ми розглядали, розміщалися на одній площині. У стереометрії ж можна розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цих формулювання аксіоми паралельності площин (див. розділ І, §5, п. 1), потребує уточнення у порівнянні з викладом її у курсі стереометрії. Це уточнення буде подано у §2.

Введення у стереометрії нового поняття - площини потребує розширення системи аксіом аксіомами, які б виражали властивості точок, прямих і площин у просторі. Введемо нову групу аксіом - групу аксіом С.

С_I. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.

На малюнку 353 точка М і N належать площині α (площина α проходить через ці точки), а точки С, К і L - не належать цій площині. Для запису цього, як і планіметрії, використовують значки і . Наприклад, М α; К α.

С_І_I. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки прямої належать цій площині.

У цьому випадку кажуть, що пряма належить площині, або площина проходить через пряму. На малюнку 354 точки С і D прямої m належать площині α, тому і пряма m, якій належать ці точки, належить площині α.

Це записують так: m α. Запис n α означає, що пряма n не належить площині α (мал. 355 і мал. 356), тобто існує така точка прямої n, яка не належить площині α. На малюнку 355 пряма nта площина мають спільну точку К. Говорять, що пряма n і площина α перетинаються в точці К. Це записують так: n α = К.

Якщо через пряму m проходять дві різні площини α і β, то говорять, що площини α і βперетинаються по прямій m (мал. 357); записують це так: α β = m.

С_III. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

На малюнку 357 площини α і β мають спільну точку Р (точка Р належить як площині α, так і площині β, яка в свою чергу, належить прямій m. Аксіома С_III стверджує, що площини α і βперетинаються по прямій m.

С_І_V. Через будь-які три точки, які не належать одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

На малюнку 358 точки А, В і С не належать одній прямій. Аксіома С_IV стверджує, що існує одна площина а така, що А α, В α, С α.

Основні фігури стереометрії: точка, пряма, площина.

Точки позначають великими латинськими літерами: А, В, С₁, С₂, С₃, …. і так далі.

Прямі позначають маленькими латинськими літерами: а, b, с₁, с₂, с₃, …. і так далі.

Площини позначають маленькими грецькими літерами: j, δ, α, β, γ, ω, …. і так далі.

Аксіома 1. (встановлює непорожність точкового простору). Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать цій площині.

Аксіома 2. (встановлює фігуру, яка лежить у перетині двох площин). Якщо дві різіні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Аксіома 3. (встановлює правило утворення однієї площини) Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Наслідки із аксіом.

Простір складається із безлічі точок.

Через три точки проходить тільки одна площина.

Через пряму і точку можна провести одну і тільки одну площину.

Через чотири точки, що не належать одній площині, можна провести чотири площини. Такі чотири точки визначають: просторовий чотирикутник; вершини трикутної піраміди.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі.

Дві прямі у просторі перетинаються в одній точці; в багатьох точках;

Дві прямі у просторі не перетинаються і лежать в одній площині – це паралельні прямі;

Дві прямі у просторі не перетинаються і не лежать в одній площині – це мимобіжні прямі.

Взаємне розміщення двох площин у просторі.

Дві площини у просторі не перетинаються – ці площини паралельні.

Дві площини у просторі перетинаються по прямій.

Взаємне розміщення прямої і площини у просторі.

Пряма і площина мають одну спільну точку;

Пряма і площина не мають спільних точок – це пряма паралельна плошині;

Пряма і площина мають дві і більше спільних точок – це пряма лежить у площині;

Аксіоми стереометрії, їх наслідки. Взаємне положення двох прямих.

1. Через дві точки можна провести ... площин.

2. Через три точки можна провести ... площин.

3. Якщо дві площини мають спільну точки, то вони ...

4. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони ...

3. Через три промені, які виходять з однієї точки, можна провести ... площин, якщо .. .

4. Через дану точку в просторі можна провести ... прямих, паралельних даній площині.

5. Якщо пряма АВ паралельну пл. a, то на площині можна знайти ... прямих, паралельних АВ.

Паралельність прямої і площини.

Пряма і площина можуть: перетинатися в одній точці; бути паралельними; перетинатися у багатьох точках.

Означення. Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма, що не належить площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то вона паралельна і самій площині.

Властивість. Якщо через пряму, паралельну площині, провести другу площину, яка перетинає першу, то пряма перетину площин паралельна першій площині.

Паралельність прямої і площини.

1. Відстань між двома протилежними ребрами куба з ребром а дорівнює ...

2. Твердження: «Якщо дві паралельні прямі однієї площини паралельні двом паралельним прямим другої площини, то такі площини паралельні є ...

3. Різних пар паралельних ребер у кубі буде ...

4. Різних пар паралельних ребер у паралелепіпеді . ..

5. Якщо пряма а лежить на площині a, а пряма b перетинає a, не перетинаючись з а, то через прямі а і b площину провести .. . (можна, не можна).

6. З точки Е проведено 2 промені, що перетинають паралельні прямі а і b відповідно в точках А, В і С, D. Якщо DА = 10 см, АВ = 5 см і АС = 6 см, то BD = …

Основні властивості паралельних проекцій

З двох тверджень:

1) Якщо проекції двох прямих паралельні, то і самі прямі паралельні.

2) Якщо проекції двох прямих перпендикулярні, то і самі прямі перпендикулярні, вірним буде твердження ...

Проекцією паралелограму на площину може бути ... (паралелограм, квадрат, прямокутник, трикутник, трапеція, пряма)1.

Проекцією кола на площину може бути ...

При побудові площини, яка проходить через дану точку, паралельно двом заданим прямим, можуть трапитись такі випадки: ...

Щоб перетнути куб площиною, яка проходить через три (чотири, шість) точки, розміщені на мимобіжних ребрах його, треба виконати побудову ...

Найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

Сформулюємо найпростіші наслідки з аксіом стереометрії.

1. Через пряму і точку, що не лежать на ній, можна провести площину, і до того ж тільки одну(мал. 359).

2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну (мал.360).

З аксіоми С_IV та розглянутих наслідків випливає, що площину можна задавати:

1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;

2) прямою і точкою, що не лежить на ній;

3) двома прямими, що перетинаються.

Ще один спосіб задавання площини буде розглянуто у подальшому.

Розв’язання. 1) Так (мал. 361); 2) так (мал. 362);

Варіант 1

1.Чи належить точка К прямої MN площині

ромба ABCD, якщо точка М належить стороні

AD, a N — стороні ВС? ( див. мал. )

2. Дано прямокутник ABCD i точка М, що не

належить його площині. Чи перетинаються площини ABM i MDC?

4. Точка А і В належать площині α, а точка С — їй не належить.

1) На прямих СА і СВ вказати точки М і N відповідно, що лежать з

точкою С в різних півпросторах відносно площині α.

2) Чи належить пряма АХ площині СМN, де Х — довільна точка площини α?

3) Зобразити пряму перетину площини α з площиною AMN.

Варіант 2

4. Точка А і В належать одному півпростору, а точка С- іншому відносно деякої площини α. 1) Вказати відрізки, утворені цими точками, які перетинають площину α.

2) Чи належить пряма СХ площині АВС, де Х- довільна точка площини α. 3) Зобразити пряму, яка належить площинам α і АВС.

Варіант 3

1. Пряма α перетинає коло у двох точках. Чи лежать ця пряма у площині кола?

2. Дано трикутник АВС і точка S, що не належать площині трикутника. Точка М і К - середина відрізка ВС і АС відповідно. Чи перетинаються площини ASM і BMK?

3. Площина α проходить через вершину А і В трикутника АВС і точку М, яка є серединою сторони ВС. Довести,що точка С належить площині α.

4. Відрізок АВ перетинає деяку площину α, а відрізок АС – її не перетинає α.

1) Вказати точки,які лежать в одному,а які – в різних пів сторонах, відносно площини α .

2) Чи належить пряма ВХ площині АВС, де Х – довільна точка площини α ?

3) Зобразити пряму, яка належить площинам α і АВС.

Варіант 4

1. Пряма a і b перетинаються. Точка А і В належать прямій α, а точка С – прямій b. Чи належать прямі a і b площині АВС?

2. Дано трикутник АВСD і точку S, яка не належить його площині. Чи перетинаються площини BSD і MNK,де M, N, K – середини відрізків АВ, ВС, ВS відповідно?

3. Дано десять точок, які не лежать в одній площині. Чи можуть будь – які дев’ять з них лежати на одній прямій? Обґрунтуй.

4. Точка А і В належать одному, а точка С і D – іншому півпросторам відносно площини α.

Основні поняття стереометрії.

Основні поняття стереометрії.

Стереометрія - це розділ геометрії, який вивчає властивості геометричних фігур у просторі.

В стереометрії основними поняттями є точка, пряма і площина. Ці поняття є первинними у курсі стереометрії, їх вводять без означень і називають неозначуваними поняттями. Поняття точки і прямої нам відомі з курсу планіметрії

Уявлення про частину площини дає поверхня стола, шибки, стелі тощо Площину в геометрії вважають рівною та необмеженою; вона не має краю та не має товщини. На малюнках зображують тільки частину площини або у вигляді паралелограма (мал. 351), або у вигляді довільної замкненої області (мал. 352) Позначають площини грецькими буквами: α, β, γ тощо.

Завдання для самостійного опрацювання

Варіант 1

Початковий і середній рівні

У завданнях 1 - 6 зазначте правильну відповідь.

Виберіть закінчення фрази, щоб вийшло правильне твердження.

1.Через три точки, які лежать на одній прямій, ...

А) можна провести тільки три різні площини; Б) можна провести тільки одну площину; В) не можна провести жодної площини; Г) можна провести нескінченну множину площин.

2. У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ прямі АА₁і СС₁ ...
А) перетинаються; Б) співпадають; В) паралельні; Г) мимобіжні.

3. Пряма FЕ не належить площині АОВ. Скільки спільних точок мають площини (АОВ) і (FОЕ)?
А) Одну; Б) Три; В) Нескінченну множину; Г) Дві.

4. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Площини (ВСD) і (АВD) перетинаються по прямій:

А) АС; Б) ВD; В)АВ; Г) ВС.

5. Точки А, В, С і S не лежать в одній площині; пряма МN лежить у площині SАВ. Тоді прямі SС і МN:

А) перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) не можна дати однозначну відповідь.

6. Скільки площин можна провести через кінці однієї діагоналі
паралелограма й середину іншої діагоналі?

А) одну; Б) жодної; В) три; Г) нескінченну множину.

Достатній рівень

7. Дано пряму b і точку В поза нею. Доведіть, що пряма а, яка проходить через точку В і перетинає пряму b паралельні, лежить із ними в одній площині.

8. Пряма МN і точки С та D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі МN і СD не перетинаються.

Високий рівень

9. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині, точки K, L, М,
N - середини відрізків АС, СD, ВD, АВ відповідно, АD = ВС.
Знайдіть периметр чотирикутника КLМN, якщо КМ = 6 см,

LN = 8 см.

середа, 18 червня 2014 р.