Задачі з стереометрії. Правильні тіла.

Тема. Куб.
Теоретична частина.

Означення. Кубом називається  прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Взагалі, куб –  сприймається нашою свідомістю, як тривимірна правильна геометрична фігура, що обмежена поверхнею, утворену правильними двовимірними чотирикутниками, тобто квадратами. Хоча, кубом можна розглядати, як фігуру, утворену за допомогою тільки 8-ми точок. Тому виникає питання, з яких точок зору можна розглядати куб? Які властивості у куба і чи змінюються вони в залежності від точки зору на куб?   На тривимірному кубі можна задавати:

·         Нуль-вимірні фігури, тобто деякі точки(такі фігури мають міру 0). Якщо куб розглядати, як фігуру, утворену за допомогою тільки 8-ми точок(восьми вершин), то такий куб вважають нуль-вимірний(точковий куб).

·         Одновимірні фігури, або, як часто говорять, лінійні фігури, тобто відрізки, різні криві лінії, різні ламані(такі фігури  мають тільки одну додатну міру, її називають довжиною); для двох одновимірних фігур задають кут між ними, це необхідно для того, щоб точно встановлювати усі можливі випадки їх взаємного розташування та орієнтацію фігур відносно певних точок зору або систем відліку. Якщо куб розглядати, як фігуру, утворену за допомогою тільки 12-ми рівних відрізків(ребер), без внутрішніх точок поверхневих квадратів, то такий куб вважають одновимірний(каркасний куб має тільки довжину 12а од. довж.).

·         Двовимірні фігури, як часто говорять, плоскі фігури, різні види поверхонь (такі фігури мають дві додатні міри, довжину і ширину,  при цьому для таких фігур вводять ще одну, квадратичну міру, тобто міру площі фігури або площі поверхні). До двовимірних фігур належать різні многокутники, тобто трикутники, чотирикутники, многокутні ламані поверхні,  або криві поверхні,  обмежені кривими лініями, тобто круги, еліпси і так далі. Якщо куб розглядати, як фігуру-поверхню, тобто взяти розгортку куба, без точок внутрішньої  частини, утворений за допомогою тільки 6-и рівних квадратів, то такий куб вважають двовимірний (порожній куб має повну поверхню 6а² кв. од.).  Якщо на шести поверхневих квадратах куба побудувати шість площин(а це двовимірні плоскі фігури), то весь тривимірний простір розбивається на 27 частин.

·         Тривимірні фігури, або ще говорять просторові(фігури  мають три додатні міри: ширина, довжина, висоти, при цьому для таких фігур вводять ще одну, кубічну міру, тобто міру об’єму фігури або міру ємності, яку обмежує двовимірна поверхня). Наприклад, якщо куб розглядати, як фігуру-об’ємну, і він містить в собі усі точки внутрішньої частини, такий куб можна утворити за допомогою двох рівних між собою прямих трикутних  призм,  в основі яких лежать рівнобедрені прямокутні трикутники і висота призми рівна меншій стороні основи, то утворений куб вважають тривимірний(наповнений куб має об’єм а³ куб. од.).

 Куб  у класифікації  багатогранників

Многогранники – просторова фігура, що складається тільки з многокутників, які називаються гранями.
Опуклі многогранники - це многогранник, всі діагоналі якого лежать у внутрішній частині просторової фігури. Многогранники лежать по одну сторону від будь-якої своєї грані.
Многокутні призми – це многогранник, з рівними двома основами, які суміщаються паралельними перенесенням і з бічними гранями паралелограмами.
Прямі n-кутні призми – з бічними гранями  прямокутниками.	Похилі n-кутні призми
4-кутні призми – з двома рівними основами чотирикутниками.	Похилі 4-кутні призми
Паралелепіпеди – будь-які дві протилежні грані це рівні і паралельні паралелограми.
Прямі паралелепіпеди - з двома рівними основами паралелограмами і перпендикулярними до них бічними ребрами.	Похилі паралелепіпеди
Прямокутні  паралелепіпеди - з двома рівними основами прямокутниками і бічними гранями прямокутниками.	Ромбоїди – усі грані ромби
Куби - з усіма рівними гранями, які являються квадратами.

Означення. Грані куба, які не мають спільних точок називаються протилежними гранями.

Означення. Грані куба, які мають спільну точку називаються суміжними гранями.

РОЗГОРТКА КУБА

Означення. Розгорткою куба називається шестиклітинкова  плоска фігурка, в результаті згинання якої по лініях клітинок можна отримати всю поверхню куба.

Скількома способами можна розрізати куб, зроблений з картону, по ребрах, щоб утворилися шматки картону можна було розташувати в площині? Мовою геометрії - як багато у куба реберних розгорток?

Виявляється, у куба існує одинадцять різних реберних розгорток. Подумайте над добгрунтуванням, чому не більше, а далі ми всі їх побачимо.

 Цікаво, що паркет у вашій кімнаті можна зробити з дощічок у вигляді будь-якої з реберних розгорток куба. Щоб замощення площині було паркетом, необхідно, щоб кожна точка площини накривалася плиточка паркету і не було перекривання, тобто кожна точка була накрита рівно однією плиткою.

 Доводити те, що з чергової розгортки куба буде паркет, можна завжди однаково. Спочатку з плиточок розглянутого виду зробимо нескінченну (по одному напрямку) смугу (іноді з рівними, а частіше - з нерівними краями). Поруч з отриманою смугою можна покласти таку ж, потім ще одну і так, послідовно, замостити всю площину.

КУТИ КУБА

На кубі можна задавати різні види кутів. Наведемо означення таких кутів.

Будемо вважати, що кут між паралельними прямими дорівнює нулю.

Означення. Кут між прямою і площиною - це кут між цією прямою і її ортогональною проекцією на цю площину.

Означення. Пряма що перетинає площину, називається  перпендикулярною (ортогональною, нормальною) цій площині, якщо вона перпендикулярна всім прямим, що лежать у цій площині.

Означення. Кут між двома мимобіжними прямими називається, кут, що дорівнює куту між двома  паралельними їм прямими, що перетинаються.

Означення. Кут між двома площинами, що перетинаються – це кут між прямими, по яких ці площини перетинаються з третьою площиною, перпендикулярною до лінії перетину цих площин.

Означення. Площина перпендикуляна до другої  площини, якщо вона містить усю пряму, яка   перпендикулярна до другої площини.

У двох перпендикулярних площин, їх нормалі-вектори теж перпендикулярні.

Означення. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує, тобто ребром двогранного кута. Дві півплощини називаються гранями двогранного кута.

Двогранний кут позначають двома точка, які належать ребру двогранного кута або двома півлощинами, які є граннями цього кута.

При перетині двох площин  утворюється чотири випуклих двогранних кути,  у яких лінійні кути менші розгорнутого кута, тобто менші 180^о.

Кут між прямою, що лежить в площині однієї грані двогранного кута, і площиною другої грані може змінюватися від 0^о до величини лінійного кута, який утворений перетином двогранного кута з площиною перпендикулярною до ребра даного двогранного кута.

Означення. Два двогранних кути називаються суміжними, якщо вони мають спільну грань, а дві інші грані доповнюють одна одну до площини.

Означення. Бісектором двогранного кута називається  множина точок(бісекторна півплощина), що рівновіддалена від граней двогранного кута.

Властивості  бісекторів:

·         Якщо точка О належить ребру двогранного кута, а точка М належить бісекторній півлощині, то пряма ОМ утворює рівні кути з площинами граней даного двогранного кута.

·         Бісекторна півплощина розбиває випуклий двогранний кут на два двогранних кути, у яких рівні величини відповідних лінійних кутів.

·         Кут між бісекторами двох суміжних двогранних кутів прямий.

·         Точка М належить бісектору тоді і тільки тоді, коли ортогональні проекції відрізка ОМ ( точка О – належить ребру двогранного кута) на площини граней мають рівні довжини.

Означення. Два двогранних  кути називаються рівними, якщо вони суміщаються при накладанні.

Запитання: «Як вимірювати двогранні кути у просторі, що треба визначити який із двох кутів більший?»

Властивість двогранного кута. Якщо площина перпендикулярна до двох граней двогранного кута, то вона перпендикулярна і до його ребра. І навпаки, якщо площина перпендикулярна до ребра двогранного кута, то вона перпендикулярна і до двох граней двогранного кута.

Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох півпрямих.

Означення. Кут, утворений двома півпрямими, що перпендикулярні до ребра двогранного кута,  називається лінійним кутом двогранного кута (див. рисунок). За міру двогранного кута приймається міра його лінійного кута.

 Властивість лінійного кута двогранного кута. Міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута.
Побудувати лінійний кут двогранного кута можна двома способами.
1. Обрати точку на ребрі кута й провести через цю точку перпендикуляри до ребра, що лежать у гранях кута (див. рисунок нижче зліва). Кут між цими перпендикулярами — лінійний кут даного двогранного ­кута.
2. Обрати точку на грані двогранного кута й опустити з неї перпендикуляри на ребро кута та на іншу грань двогранного кута (див. рисунок нижче справа). З’єднати основи цих перпендикулярів. Кут між цим відрізком і перпендикуляром, проведеним до ребра двогранного кута, буде лінійним кутом даного двогранного кута.

Запитання: Який двогранний кут буде  прямим двогранним кутом?

Означення. Двогранні кути називаються суміжними, якщо у них є одна грань спільна, а дві інші утворюють площину.

Означення. Прямим двогранним кутом називається кожний із двох рівних суміжних двогранних кутів.

Означення. Тригранним кутом(abc) називається фігура, яка складається з трьох плоских кутів (ab) (bc) (ac) (див. рисунок). Ці кути називаються гранями тригранного кута, а їх сторони  ‒ ребрами. Спільна вершина плоских кутів називається вершиною тригранного кута.

Означення. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.

Аналогічно дають означення многогранного кута.

Властивість. Довжини трьох ребер можуть визначати безліч тригранних кутів з різними лінійними та двогранними кутами.

Розглянемо кути на кубі.

Кути куба поділяються на:

а) лінійні кути(утворені двома ребрами куба, які виходять з вершини куба);

б) двогранні кути(утворені двома суміжними гранями куба зі спільним ребром);

в)тригранні кути(утворені трьома суміжними взаємно перпендикулярними гранями куба, три ребра яких виходять з однієї вершини куба).

Варіанти розгорток куба.

Основна властивість розгортки куба.

Будь-яка розгортка куба може бути накреслена на клітинковому папері мінімальним розміром прямокутника 3х4, якщо одна клітинка дорівнює площі грані куба.

Якщо розгортку куба не можна перевертати на іншу сторону,

 то кількість різних розгорток куба дорівнює 19.

	2				1			3	3			4	4	4			5	5
2	2	2		1	1				3	3			4			5	5
	2				1	1			3				4				5
	2				1				3				4				5
	6			7	7				8				9	9		10	10
6	6				7				8	8			9				10
	6	6			7			8	8			9	9				10
	6				7	7			8				9				10	10
11						12		13				14					15
11	11			12	12	12		13	13	13		14	14				15	15
	11				12				13				14	14		15	15
	11	11			12				13				14			15
		16	16		17					18				19
	16	16			17				18	18				19
16	16				17	17		18	18				19	19
						17		18					19
						17							19

Якщо розгортку можна перевертати на іншу сторону, то кількість різних розгорток куба дорівнює 11.

	2				1			3	3			4	4	4		11
2	2	2		1	1				3	3			4			11	11
	2				1				3				4				11
	2				1	1			3				4				11	11
	6			7	7			14						12
6	6				7			14	14			12	12	12
	6	6			7				14	14			12
	6				7	7			14				12
		16	16		17
	16	16			17
16	16				17	17
						17
						17

ВЕРШИНИ КУБА. ВЛАСТИВОСТІ ВЕРШИН КУБА.

Означення. Вершина – це вершини квадратів з яких складається куб.  перетину трьох суміжних ребер куба.  Куба має 8 вершин. Це точки А, В, С, D, А₁ , В₁ ,С₁ ,D₁. 

Вершини куба поділяються на:

·   верхні вершини куба, - це точки А₁ , В₁ ,С₁ ,D₁;

·   нижні вершини  куба - це точки А, В, С, D;

·   сусідні вершини куба – це дві вершини, які являються кінцями сторони квадрату, з яких утворений куб. Одна вершина куба має три сусідні вершини куба. Всього 12 пар сусідніх вершин у куба;

·   протилежні вершини куба - це дві вершини, які являються протилежними вершинами  прямокутників АА₁С₁С та ВВ₁D₁D. 

Позначення куба. Для позначення куба використовують  назви восьми  вершин  куба. Куб позначають так: АВСDА₁В₁С₁D₁.

Властивості вершин куба.

1.      Знаючи положення 5-и будь-яких вершин куба однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі.

2.      Не завжди, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі.

3.      Якщо чотири вершини  куба  являються кінцями  трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі.

Звертаємо вашу увагу на те, що вершини куба  визначають дуже важливі комбінаторні властивості куба.

Вісім вершин куба задають різних 28 основних відрізків.  (Дві вершини задають відрізок на кубі, тому  C₈²= 7*8/2=28 відрізків).

Розглянемо властивості  відрізків, кінці яких  лежать тільки у вершинах куба. Ці відрізки ще називають основними лінійними елементами куба. Серед цих відрізків: 

а)12 відрізків належать до ребер куба - це сторони шести квадратів: АВ, ВС, CD, AD,  А₁В₁, В₁С₁, C₁D₁, A₁D₁, АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁) .

б)12 відрізків належить до діагоналей граней куба. Це діагоналі шести квадратів: АD₁, A₁D,  CD₁, C₁D, ВА₁, АВ₁, ВС₁, В₁С,  C₁А₁, В₁D₁, ВD, AС.

в) 4 відрізки належать до діагоналей куба: DB₁, AC₁, BD₁, CA₁.

Перша комбінаторна властивість вершин куба. Вісім вершин куба задають 28 різних відрізків, кінці яких лежать тільки у вершинах куба.

Точка, що рівновіддалена від усіх вершин куба лежить в точці перетину 4 діагоналей куба. Цю точку називають центром куба або центром симетрії куба. Ця точка рівновіддалена від усіх граней куба. Через цю центр куба  проходять:

а) усі 13 різних осей симетрій куба(три вісі симетрій проходять через центри квадратів куба, чотири вісі  симетрій містять діагоналі куба, три вісі  проходять через середини протилежних ребер куба)

б)усі  9 різних площини симетрій куба(три площини симетрії розрізають куб на дві рівні частини  горизонтально, вертикально,  поперечно, і ще шість площин симетрій, кожна з яких містить якийсь один діагональний переріз куба. 

Друга комбінаторна властивість вершин куба. Вісім вершин куба задають 20 різних січних площин куба, кожна з яких містить три вершини  куба.

Серед цих 20 площин маємо:

А) 6 межових площин(поверхневі квадрати куба), кожна з яких містить в собі  чотири вершини куба, які утворюють  квадрат поверхні куба, до речі ці площини не розрізають куб на частини.

Б) 6 січних площин(діагональні перерізи куба), кожна з яких містить в собі діагональний переріз куба, до речі, кожна з цих площин розрізає об’єм куба( а це дві рівні прямі трикутні призми) і його поверхню на дві рівні частини. Діагональний переріз  являється бісекторною площиною двогранного кута при ребрі куба, яке належить цьому перерізу.

В) 8 січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі  тільки три вершини куба, або містить трикутний переріз куба(це рівносторонній трикутник, що утворений трьома діагоналями граней куба), до речі, кожна з восьми цих площин перпендикулярна до однієї діагоналі  куба і  відрізає від куба  трикутну піраміду, яка становить шосту частину загального об’єму куба.  Іншими словами, кожна із восьми площин ділить весь об’єм  куба у відношенні 1:5, а повну поверхню куба розрізає на дві частини, у відношенні 1:3,  тобто відрізає меншу частину поверхні, що становить четверту частину повної поверхні куба. Зазначимо, кожна діагональ куба перетинає рівно дві з восьми рівносторонніх трикутних перерізів куба площин, і ці дві площини між собою паралельні і розрізають цю діагональна три рівні частини.   Діагональ куба перпендикулярна до цих обох площин. Таким чином, будь-яка діагональ куба і мимобіжні до неї(їх шість) діагоналі граней куба перпендикулярні, тобто кут між ними прямий, 90⁰.

Взагалі, для побудови площини, що перетинає куб, можна використовувати елементи, які повністю визначають положення площини у просторі. Площину, яка перетинає куб можна задати:

1)      трьома точками, що не лежать на одній прямій(неколінеарними точками);

2)      відрізком і точкою, яка їй не належить;

3)      двома відрізками, що перетинаються;

4)      двома паралельними відрізками;

5)      трикутником або будь-якою іншою плоскою фігурою, точки якою належать кубу.

Третя комбінаторна властивість вершин куба. Вісім вершин куба задають 2 правильних тетраедра в кубі, кожний з яких містить чотири вершини  куба.

Якщо вершини куба зафарбувати у шаховому порядку в два кольори, то чотири вершини одного кольору визначають перший правильний тетраедр, а чотири вершини другого кольору визначають другий правильний тетраедр. Усі висоти обох тетраедрів лежать на діагоналях куба, і дорівнюють дві треті діагоналі куба. У двох тетраедрів і куба спільна  описана сфера, а її радіус дорівнює половині діагоналі куба, що становить три чверті висоти тетраедра. У двох тетраедрів  спільна вписана сфера, її радіус дорівнює шостій частині діагоналі куба.

Кожний такий правильний тетраедр, вписаний в куб становить третю частину об’єму куба, і  довжина ребра тетраедра дорівнює a*2^0,5  , де а – довжина ребра куба. 

ВЛАСТИВОСТІ РОЗФАРБУВАННЯ ГРАНЕЙ КУБА У РІЗНІ КОЛЬОРИ

Зрозуміло, що усі грані куба можна по-різному розфарбувати в один колір  лише  1 способом:

А) Усі грані куба можна по-різному розфарбувати в два різні кольори лише  вісьмома способами:

 1)  (1, 2, 2, 2, 2, 2);  2) (2, 1, 1, 1, 1, 1);  3) (1,1, 2, 2, 2, 2);  4) (2, 2, 1, 1, 1, 1);  5) (1, 1, 1, 2, 2, 2);  6) (1, 1, 2, 2, 1, 1);  7) (2, 2, 1, 1, 2, 2), 8) (2, 1, 1, 2, 2, 2),   де для символу  позначення зафарбованих граней куба     ( *, *, *,  *, *, *) – використано позначення  шести-розмірного вектора, а зміст координат означає номер кольору грані  куба, координати значення якого 1 - перший колір, 2 другий колір.

Б) Усі грані куба можна по-різному розфарбувати в три різні кольори лише  30 способами, якщо не розрізняти одну дзеркально-симетричну пару:

1) (1, 2, 3, 3, 3, 3);  2) (1, 3, 2, 2, 2, 2);  3) (2, 1, 3, 3, 3, 3); 4) (2, 3, 1, 1, 1, 1);  5) (3, 1, 1, 2, 2, 2);  6) (3, 2, 1, 1,  1, 1); 7) (1, 2, 2, 3, 3, 3);  8) (1, 3, 3, 2, 2, 2);  9) (2, 1, 1, 3, 3, 3);  10) (2, 3, 3, 1, 1, 1);  11) (3, 2, 2, 1, 1, 1);  12) (3, 1, 1, 2, 2, 2); 13), 13) (3,3,3, 2, 2, 1);  14)  (2, 2, 2, 3, 3, 1);  15) (3, 3, 3, 1, 1, 2);  16)  (1, 1, 1, 3, 3, 2); 17) (1, 1, 1, 2, 2, 3); 18) (2, 2, 2, 1, 1, 3);  19) (1, 3, 3, 3, 2, 2);   20) (1, 2, 2, 2, 3, 3);  21) (2, 1, 1, 1, 3, 3); 22) (2, 3, 3, 3, 1, 1); 23) (3, 1,1,1, 2, 2); 24) (3, 2, 2, 2, 1, 1); 25) (1, 1, 2, 2, 3, 3); 26) (1, 1, 3, 3, 2, 2); 27) (2, 2, 1, 1, 3, 3); 28) (2, 2, 3, 3, 1, 1); 29) (3, 3, 1, 1, 2, 2); 30) (3, 3, 2, 2, 1, 1), де для символу  позначення зафарбованих граней куба ( *, *, *,  *, *, *) – використано позначення  шести-розмірного вектора, а зміст координат означає номер кольору грані  куба, координати значення якого 1 - перший колір, 2 - другий колір, 3 – третій колір.

В) Усі грані куба можна по-різному розфарбувати в чотири різні кольори лише  68 способами.  Якщо в лапках записати  скільки граней займає кожний колір, то 68 = 4 х (2+3) "1+1+1+3" + 6 х (6+2) "1+1+2+2".

Г) Усі грані куба можна по-різному розфарбувати в п’ять різних кольорів лише  75 способами.  Якщо в лапках записати  скільки граней займає кожний колір, то 75 = 5 х (4!/8+4!/2).

Д) Усі грані куба можна по-різному розфарбувати в шість різних кольорів лише  30 способами.  Якщо в лапках записати  скільки граней займає кожний колір, то 30 = 6! / 24.  Довільну грань можна зафарбувати у перший колір. Нехай це верхня грань. Для нижньої грані маємо 5 варіантів. Довільну бічну грань можна розфарбувати  3! = 6 варіантів. І тоді перемножимо дані варіанти за правилом добутку, тримаємо 30.

Практична частина.

Завдання для саморозвитку аналітичного  мислення 
та просторового уявлення на властивостях куба.

1.01.  Чи може в перерізі  куба однією площиною отримати:  а)правильний трикутник;   б)правильний чотирикутник;  в)правильний п'ятикутник;  г)правильний шестикутник;  д)правильний семикутник?

1.02.   Чи може в перерізі куба однією площиною  отримати:  а) тупокутний  рівнобедрений трикутник; б)гострокутний рівнобедрений трикутник; в)прямокутний рівнобедрений трикутник;  г)тупокутний різносторонній трикутник; д)різносторонній чотирикутник; е) дельтоїд; ж) ромб; з) рівнобічна трапеція; і)різнобічна трапеція; к)прямокутну трапецію.

1.03. Дано куб. Знайти відстань від вершини куба до його діагоналі, якщо: 
а) довжина ребра куба дорівнює  8 см;
б) довжина діагоналі грані куба дорівнює 16 м; 
в) довжина діагоналі куба дорівнює  р одиниць довжини; 
г) площа діагонального перерізу куба дорівнює  s квадратних дециметрів.

1.04. Дано куб. Знайти площу перерізу куба, що проходить через діагоналі 
двох суміжних граней куба, якщо; 
а) довжина ребра куба дорівнює  32 см;
б) довжина діагоналі грані куба дорівнює 10 м; 
в) довжина діагоналі куба дорівнює  h одиниць довжини; 
г) площа діагонального перерізу куба дорівнює  m квадратних дециметрів.

1.05. Дано куб. Знайти площу перерізу куба ABCDA1B1C1D1, 
що проходить через середини шести  ребер куба АВ, ВС, СС1, D1C1,  A1D1, АA1, 
якщо:
а) довжина ребра куба дорівнює  12 см;
б) довжина діагоналі грані куба дорівнює 100 м; 
в) довжина діагоналі куба дорівнює  m одиниць довжини; 
г) площа діагонального перерізу куба дорівнює  n квадратних дециметрів.  

1.06. Дано куб. Знайти об’єм  правильного тетраедра SABC, шість 
ребер якого  являються діагоналями граней куба, якщо: 
а) довжина ребра куба дорівнює  1 см;
б) довжина діагоналі грані куба дорівнює 8 м; 
в) довжина діагоналі куба дорівнює  m одиниць довжини; 
г) площа діагонального перерізу куба дорівнює  n квадратних дециметрів. 

1.07. Дано куб. Знайти кут між:
а) мимобіжними діагоналями непаралельних граней куба;
б) мимобіжними діагоналями паралельних граней куба;
в) двома діагональними перерізами куба;
г) кут між діагоналлю куба та будь-якою діагоналлю грані куба. 

1.08. Дано довільне розташування куба у декартовому тривимірному просторі Oxyz. 
Цей куб паралельно проектують на площину Оху. Наприклад. одним з наочним і повним
зображення усіх точок проекції тривимірного куба на цю площину може бути 
рівносторонній шестикутник, з двома прямими кутами і чотирма кутами по 120 градусів.
Чи вірно, що проекцією цього куба  на площину Оху може бути:
а) квадрат;
б) ромб;
в) 5-кутник;
г) різносторонній 6-кутник.

1.09. Існує безліч способів утворення куба.  Продемонструємо деякі із них, наприклад,
при перетині двох трійок рівних взаємно перпендикулярних квадратів, що мають тільки 
по дві спільні сторони можна утворити куб.Вершини цих квадратів є вершинами куба. 
Чи можна однозначно задати вісім вершин куба:
а)при перетині  під прямим кутом двох рівних прямокутників по спільній середній лінії;  
б)при перетині  двох трійок взаємно перпендикулярних прямих;
в)при перетині шести рівних квадратів;
г)при перетині 12 рівних прямокутних рівнобедрених трикутників.
д)задавши положення  восьми точок у просторі?

1.10. Дано куб. Доведіть такі властивості куба: 
1. Кожна вершина куба задає рівно  один тригранний кут, який складається з трьох прямих лінійних кутів. 
2. Кожне ребро куба задає рівно один двогранний прямий кут. 
3. Усі лінійні кути куба, якщо утворені двома ребрами зі спільною вершиною, рівні і прямі, тобто мають міру 90 градусів.
4. Двогранні кути куба рівні, якщо утворені двома гранями куба зі спільним ребром. 
Двогранні кути куба вимірюються лінійними кутами,які можуть бути утворені двома ребрами куба і мають міру 90 градусів.
5. Довжини трьох ребер можуть визначати безліч тригранних кутів з різними лінійними та двогранними кутами
6. Тригранні кути куба вимірюються трьома лінійними кутами куба та трьома двогранними кутами.
7. У тригранному куті куба кожний плоский кут менший за суму двох інших.
8. Сума плоских кутів тригранного кута, утвореного на кубі менша за 360 градусів.

1.11. Дано куб. Заповнити таблицю, дослідивши комбінаторні властивості  двійок ребер куба  

Властивості  пар ребер куба
Число усіх пар ребер куба.	?
Число  усіх пар ребер, у яких жодні два не мають спільних точок(двійки несуміжних ребер куба).	?
Число  усіх пар ребер, у яких одне паралельне до іншого ребра(двійки паралельних ребер куба).	?
Число усіх пар ребер, у яких одне перпендикулярне до іншого ребра(двійки перпендикулярних ребер куба).	?
Число  усіх пар ребер, у яких одне мимобіжне до іншого ребра(двійки мимобіжних ребер куба).	?
Число усіх пар ребер, у яких одне має спільну точку з іншим ребром(двійки суміжних ребер куба).	?
Число  усіх пар ребер, у яких одне неперпендикулярне  до іншого ребра(двійки не перпендикулярних ребер куба).	?
Число  усіх пар ребер, у яких одне непаралельне до іншого ребра(двійки непаралельних ребер куба).	?
Число усіх пар ребер, у яких одне немимобіжне до іншого ребра(двійки не мимобіжних ребер куба).	?

1.12. Дано куб. Заповнити таблицю, дослідивши комбінаторні властивості  трійок ребер куба  

Властивості  трійок ребер куба
Число усіх трійок ребер куба	?
Число  усіх трійок ребер, у яких жодні два не мають спільних точок(трійки несуміжних ребер куба).	?
Число усіх трійок ребер, у яких кожне ребро перпендикулярне до двох інших ребер(трійки перпендикулярних ребер куба).	?
Число  усіх трійок ребер, у яких кожне ребро паралельне до двох інших ребер(трійки паралельних ребер куба).	?
Число усіх трійок ребер, у яких кожне ребро мимобіжне до двох інших ребер(трійки мимобіжних ребер куба).	?
Число усіх трійок ребер, у яких кожне ребро суміжне до двох інших ребер(трійки суміжних ребер куба).	?
Число усіх трійок ребер, у яких кожне ребро неперпендикулярне до двох інших ребер(трійки неперпендикулярних ребер куба).	?
Число усіх трійок ребер, у яких кожне ребро непаралельних до двох інших ребер(трійки непаралельних ребер куба).	?
Число  усіх трійок ребер, у яких кожне ребро немимобіжне до двох інших ребер(трійки немимобіжних ребер куба).	?

1.13. Дано куб. Заповнити таблицю, дослідивши комбінаторні властивості  четвірок ребер куба  

Властивості  четвірок ребер куба
Число усіх четвірок ребер куба	?
Число  усіх четвірок ребер, у яких жодні два не мають спільних точок(четвірки несуміжних ребер куба).	?
Число усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро перпендикулярне до двох інших ребер(четвірки перпендикулярних ребер куба).	?
Число  усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро паралельне до двох інших ребер(четвірки паралельних ребер куба).	?
Число усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро мимобіжне до двох інших ребер(четвірки мимобіжних ребер куба).	?
Число усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро суміжне до двох інших ребер(четвірки суміжних ребер куба).	?
Число усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро неперпендикулярне до двох інших ребер(четвірки неперпендикулярних ребер куба).	?
Число усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро непаралельних до двох інших ребер(четвірки непаралельних ребер куба).	?
Число  усіх четвірок ребер, у яких кожне ребро немимобіжне до двох інших ребер(четвірки немимобіжних ребер куба).	?

1.14. Дано куб. Довести такі властивості  ребер куба: 

1. Усі ребра куба рівні між собою. Довжина усіх ребер куба дорівнює 12a, де а – довжина ребра куба.
2. Об’єм куба дорівнює кубу його ребра , тобто a³, де а – довжина ребра куба.
3. Відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней куба дорівнює довжині ребра куба і не залежить від розміщення ребер.
4. Найкоротша відстань між двома паралельними ребрами куба однієї грані куба дорівнює довжині ребра куба, а найдовша відстань цими ребрами дорівнює ???, де а – довжина ребра куба.
5. Найкоротша відстань між двома паралельними ребрами, що належать двом різним граням куба дорівнює  ???, де а – довжина ребра куба, а найдовша відстань цими ребрами дорівнює  ???, де а – довжина ребра куба.
6. Кут між двома мимобіжними ребрами куба дорівнює 90^о, він не залежить від розміщення цих ребер на кубі.
7. Кут між двома суміжними ребрами куба дорівнює 90^о, він не залежить від розміщення цих ребер на кубі.
8. Дві точки, що є центрами двох паралельних ребер, які належать одному діагональному перерізу куба задають пряму, яка є віссю симетрії куба. Усіх таких симетрій куба шість.
9. Із вершини  куба до протилежної вершини куба можна  6 способами дістатися найкоротшим  шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам куба.

1.15.  Дати обґрунтовані відповіді на такі запитання:

 1.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?

2. Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?

3. Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?

4. Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?

5. Чи вірно, що деякі пари бічних ребер  куба являються перпендикулярними?

6. Чи можна павуку, який повзає лише по ребрах куба, пройти лише один раз по кожному ребру куба, повернутися у початкову вершину куба.?( а якщо павук починає не у вершині куба, а на середині ребра куба?)

1.16. Довести такі властивості діагоналей куба.

1.Усі діагоналі куба рівні між собою і перетинаються в центрі симетрії куба.
2.Cума квадратів усіх діагоналей куба дорівнює сумі квадратів усіх ребер куба.
3.Об’єм куба дорівнює ???, де d_к – довжина діагоналі куба.
4.Квадрат діагоналі куба дорівнює квадрату трьох його вимірів. Для діагоналей куба виконується рівність  d_к = ???, де а – довжина ребра куба.
5.Діагоналі куба в точці перетину діляться навпіл і ця точка рівновіддалена від усіх вершин, від усіх ребер, від усіх граней куба. Тобто, ця точка - центр симетрії куба.
6.Гострий кут між двома діагоналями куба дорівнює  куту ÐА₁ОВ₁ = j = ??.
7.Кут між діагоналлю куба і площиною основи куба дорівнює куту ÐA₁CA = ??.
8.Кут між діагоналлю куба і бічним ребром куба дорівнює куту Ð АA₁C =?? .
9.Кут між діагоналлю і мимобіжною діагоналлю грані у куба дорівнює  прямому куту, тобто ???.
10.Найкоротша відстань між діагоналлю куба і мимобіжною до неї діагоналлю основи дорівнює ???, де а – довжина ребра куба, а найдовша відстань між ними дорівнює  ???, де а – довжина ребра куба.
11. Будь-які дві діагоналі куба є діагоналями діагонального перерізу куба, який розбиває куб на дві рівні трикутні призми.
12.Будь-яка діагональ куба є віссю симетрії куба.

1.17. Дано куб. Довести такі властивості діагоналей граней куба.

1. Усіх діагоналей граней куба ???,  і вони рівні між собою.

2. Для діагоналей граней куба виконується рівність ???, де а – довжина ребра куба.

3. Кут між двома діагоналями однієї грані куба дорівнює  прямому куту.

4 Кут між двома діагоналями граней куба, що виходять із однієї вершини куба, дорівнює  ???.

5. Кут між ребром куба і діагоналлю грані куба, які належать одній грані куба дорівнює ???.

6. Кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней куба дорівнює  ???.

7. Кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней куба дорівнює  ???.

8. Кут між діагоналлю куба і мимобіжною до неї діагоналлю грані куба прямий.

9.Найкоротша відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней куба дорівнює  довжині ребра куба, а найдовша відстань між ними дорівнює довжині діагоналі грані куба.

10. Найкоротша відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней куба дорівнює ???, де а – довжина ребра куба, а найдовша відстань між ними дорівнює  довжині ребра куба.

1.18.  Дано куб. Доведіть такі властивості граней куба.

1.Грані куба – це рівні квадрати, їх кількість: ???. Площа довільної грані куба дорівнює ??? , де а – довжина ребра куба. Вся поверхня куба дорівнює ???, де а – довжина ребра куба.

2.      Перпендикулярні грані куба являються суміжними гранями і навпаки, суміжні грані куба завжди перпендикулярні. 

3.      Паралельні грані куба являються протилежними гранями і навпаки, протилежні грані куба завжди паралельні. 

4.      Найкоротша відстань між двома паралельними гранями куба однієї грані куба дорівнює довжині ребра куба, а найдовша відстань ними дорівнює ???, де а – довжина ребра куба.

5. Дві точки, що є центрами довільних двох паралельних граней куба задають пряму, яка є віссю симетрії куба. Усіх таких симетрій куба три.

         1.19.  Дано куб. Доведіть такі властивості діагональних перерізів куба.

1.      У тривимірного куба АВСDA₁B₁C₁D₁ існує ??? діагональних перерізів.  Це прямокутники:  АА₁C₁С, В₁D₁DВ, ВC₁D₁А, DА₁В₁С,  АC₁DАВ₁, A₁D₁В, АА₁. Усі ??? діагональних перерізів мають спільну точку – центр симетрії куба.

2.      Площа діагонального перерізу куба дорівнює  ???, де а – довжина ребра куба.

3.      Діагональний переріз   куба  перетинає інший діагональний переріз по відрізку, який лежить на вісі  симетрії куба. Цей відрізок може бути діагоналлю куба, середньою лінією діагонального перерізу  куба. 

4.      Діагональний переріз   куба  є площиною симетрії куба.

5.      Діагональний переріз  куба розрізає його на дві рівні частини, тобто  маємо дві прямі призми, в основі яких прямокутні рівнобедрені трикутники. Цей переріз розбиває куб на дві рівні трикутні призми.

6.      Гострий кут між двома діагоналями діагонального перерізу  куба дорівнює  куту ÐА₁ОВ₁ = j =??? .

7.      Кут між діагоналлю діагонального перерізу  куба і площиною основи куба дорівнює куту ÐA₁CA =??? .

8.      Кут між діагоналлю  діагонального перерізу  куба і бічним ребром куба дорівнює куту Ð АA₁C =??? .

9.      Кут між діагоналлю діагонального перерізу  і мимобіжною діагоналлю грані куба дорівнює  прямому куту.

Тема. Правильний тетраедр.

3.1 а)Доведіть, що відрізки, які з'єднують середини протилежних ребер правильного тетраедра, перетинаються в одній точці. Доведіть, що площина чотирикутника, який побудований на цих двох відрізках, паралельна одному ребру правильного тетраедра.  Знайдіть довжини цих відрізків, якщо довжина  усіх ребер правильного тетраедра дорівнює: 1) 16 одиниць довжини; 2) а одиниць довжини.
б)Доведіть, що чотири точки, які лежать на серединах двох пар протилежних ребер правильного тетраедра, є вершинами ромба. В яких випадках можна вважати, що цей ромб являється квадратом. Знайдіть площу ромба, вершини якого з'єднують середини  двох пар протилежних ребер правильного тетраедра якщо довжина  усіх ребер правильного тетраедра дорівнює: 1) 16 одиниць довжини; 2) а одиниць довжини.

в) Доведіть, що переріз однією площиною, котрий проходить через середину ребра основи правильного тетраедра і паралельний до бічного ребра цього тетраедра, є ромбом. Чи вірно, що цей переріз є квадратом?

г) Чи вірно, що чотири висоти правильного тетраедра перетинаються в одній точці і діляться в точці перетину на частини 4:1, рахуючи від вершини?

 д) Доведіть, що об'єм правильного тетраедра, котрий побудований на шести діагоналях граней куба, становить третю частину від об'єму  цього куба. 
 є) Чи може в перерізі правильного тетраедра однією площиною  отримати:  а) тупокутний  рівнобедрений трикутник; б)гострокутний рівнобедрений трикутник; в)прямокутний рівнобедрений трикутник;  г)тупокутний різносторонній трикутник; д)різносторонній чотирикутник; е) дельтоїд; ж) ромб; з) рівнобічна трапеція; і)різнобічна трапеція; к)прямокутну трапецію; л)квадрат; м)правильний трикутник?

Тема. Трикутна піраміда.

2.01. Доведіть, що медіани тетраедра (відрізки, що з'єднують вершини з точками перетину медіан протилежних граней) перетинаються в одній точці і діляться їй відношенням 3: 1,  рахуючи від вершини.

2.02. Дано довільний тригранний кут. Розглядаються три площини, кожна з яких проведена через ребро і бісектрису протилежної грані. Чи вірно, що ці три площини перетинаються по одній прямій?

2.03. Нехай A,  B, C  і  D  - чотири точки, що не лежать в одній площині. Через точку перетину медіан трикутника ABC  проведена площину, паралельна прямим AB  і  CD.  У якому відношенні ця площина ділить медіану, проведену до сторони  CD  трикутника ACD?

2.04. Нехай A, B, C  і D  -  чотири точки, що не лежать в одній площині. У якому відношенні площина, що проходить через точки перетину медіан трикутників ABC,  ABD  і  BCD,  ділить відрізок  BD?

2.05. Точка M  -  середина ребра  AD  тетраедра  ABCD.  Точка N  лежить на продовженні ребра  AB  за точку  B,  точка K  -  на продовженні ребра AC  за точку C ,  причому  BN = AB  і CK  = 2AC.  Побудуйте перетин тетраедра площиною MNK.  У якому відношенні ця площина ділить ребра  DB  і  DC?

2.06. Площина, що проходить через середини ребер AB  і  CD  трикутної піраміди  ABCD  ділить ребро  AD  у відношенні 3: 1,  починаючи з вершини  A   У якому відношенні ця площина ділить ребро  BC?

2.07. Дано тетраедр ABCD.  Точки  M ,  N  і   K  лежать на ребрах AD, BC  і  DC  відповідно,  причому  AM :MD  = 1:3, BN : NC  = 1: 1  і CK  : KD  = 1:2. Побудуйте перетин тетраедра площиною  MNK .  У якому відношенні ця площина ділить ребро  AB?

2.08. Нехай M   і  N  -   точки перетину медіан граней   ABD    і   BCD    тетраедра ABCD .   Знайдіть MN ,   якщо відомо, що  AC =a.

2.09. Через вершину C   тетраедра ABCD  і середини ребер  AD   і BD   проведена площину. У якому відношенні ця площина ділить відрізок  MN,   де  M   і  N  -   середини ребер  AB   і  CD   відповідно?

2.10. У тетраедра ABCD   через середину  M   ребра  AD,   вершину  C   і точку  N   ребра BD   таку, що BN:ND  = 2: 1,  проведена площину. У якому відношенні ця площина ділить відрізок K P ,   де K   і P  -   середини ребер  A B   і  C D   відповідно?

Тема. Мимобіжні прямі.

4.2. а)Через дану точку простору проведіть пряму, що перетинає дві дані мимобіжні прямі.

б) Обґрунтуйте побудову відрізка, що є відстанню між двома мимобіжними прямими. 

в) Обґрунтуйте побудову  кута, що є гострим кутом між двома мимобіжними прямими.

г) Обґрунтуйте побудову двох паралельних прямих, що містять дві мимобіжні прямі.

д)Доведіть, що через дану точку можна провести одну площину, паралельну двом даним мимобіжним прямим.

е) Знайдіть геометричність місце середин відрізків, кінці яких лежать на двох даних мимобіжних прямих.

Тема. Паралелепіпед.

5.01. У паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1  проведений відрізок, що з'єднує вершину  A  з серединою ребра СС1 .  У якому відношенні цей відрізок ділиться площиною BDA1?

5.02. Доведіть, що опуклий чотиригранний кут можна перетнути площиною так, щоб в перерізі вийшов паралелограм.

5.03. Точки M  і N  лежать відповідно на  ребрах  B C  і  A A1   паралелепіпеда ABCDA1 B1 C1D1 .   Побудуйте точку перетину прямої M N  з площиною A1B1C1D1 .

5.04. Доведіть, що діагональ A C   паралелепіпеда ABCDA1 B1 C1D1  проходить через точку перетину медіан трикутника CB1D1  і ділиться їй відношенням 2: 1,  рахуючи від точки  A .

5.05. Дана трикутна призма ABCA1B1C1.  точки M , N  і  K  -   середини ребер BC,   AC і  AB  відповідно. Доведіть, що прямі  MA1  N B1    і KC1   перетинаються в одній точці.

5.06. Дано паралелепіпед ABCDA1 B1C1D1  .  Точки M , N ,  K  -  середини ребер  AB, BC  і 

DD1   відповідно. Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною  MNK .  У якому відношенні ця площина ділить ребро  CC1   і діагональ  DB 1? 

Тема. Трикутна призма.

6.01. Побудуйте перетин трикутної призми ABCA1B1C1  площиною, що проходить через точки A1  і C   паралельно прямий BC1.   У якому відношенні ця площина ділить ребро  AB?

6.02. Дана чотирикутна піраміда S A B C D ,   основа якої - паралелограм  A B C D .   Через середину ребра  A B   проведіть площину, паралельну прямим A C   і  S D .   У якому відношенні ця площина ділить ребро  SB?

6.03. Нехай M  -   точка перетину медіан основи ABC   трикутної призми  ABCA1B1C1 ;  N   і  K  -   точки перетину діагоналей граней AA1C1 C   і  B B1C1C   відповідно. Площина MNK   перетинає прямі  B1C1   і CC1   в точках  P     і  Q   відповідно. Побудуйте перетин призми площиною MNK   і знайдіть відношення B1P : B1C1   і  C1Q : CC1.