Cиметрія у просторі

Cиметрія у просторі

1. Скількома центрами симетрій у просторі володіє:

а) відрізок(має один центр симетрій – це точка, що є серединою відрізка);

б) півплощина (немає центру симетрії);

в) двогранний кут (немає центру симетрії);

г) три взаємно перпендикулярні  прямі, що перетинаються в одній точці (один центр симетрії – це точка перетину трьох прямих);

д) похилий паралелепіпед (один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі паралелепіпеда);

е) дві паралельні прямі (має безліч центрів симетрій  – це точки, що лежать на середині перпендикулярів до обох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі (немає центру симетрії).

ж)куб(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі куба);

з)паралелограм(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі паралелограма);

і) коло(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діаметра кола);

ї)пряма(має безліч центрів симетрій  – ці точки належать цій прямій)?

к) правильний тетраедр(не має центру симетрії);

л)площина(має безліч центрів симетрій – це точки, що належать цій площині);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (має один центр симетрії – це спільна точка двох прямих);

н) правильний трикутник(не має центру  симетрії);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має один центр симетрії  - це точка перетину діагоналей осьового перерізу).

2. Скількома осями симетрій  у просторі володіє:

а) відрізок (має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до  середини відрізка і пряма, що містить цей відрізок);

б) півплощина ( має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до  межі півлощини і дві точки цієї прямої належать до даної півплощини);

в) двогранний кут (має безліч осей симетрій  – це прямі, що перпендикулярні до  ребра  двогранного кута  і ділять навпіл лінійний кут  з вершиною  у точці перетину прямої з ребром двогранного кута);

г) три взаємно перпендикулярні  прямі, що перетинаються в одній точці (дев’ять  осей симетрій – це три дані прямі і ще шість прямих, що проходять через бісектриси кутів між двоми довільними даними прямими);

д) прямий  паралелепіпед (три  вісі  симетрій  – це три дані прямі, що проходять через точку перетину діагоналей паралелепіпеда  і перпендикулярні до протилежних граней);

е) дві паралельні прямі (має безліч осей симетрій  – це прямі, що перпендикулярні   до  усіх спільних перпендикулярів  і  проходять через середини  перпендикулярів до обох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі (має одну вісь  симетрії – це пряма, що містить спільний перпендикуляр до двох мимобіжних прямих );

ж)куб ( має дев’ять осей симетрій - шість прямих,  що являються діагоналями трьох різних  серединних перерізів, тобто квадратів, протилежні вершини яких лежать на серединах протилежних ребер  куба(кожна така площина перерізу куба  розрізає куб на дві рівні частини) і  ще три осі проходять через центри протилежних граней куба);

з)паралелограм(має одну вісь симетрії – це пряма, що перпендикулярна до площини паралелограма в точці  перетину  діагоналей паралелограма);

і) коло(має безліч  осей симетрій – це пряма, що перпендикулярна до площини кола в точці  перетину  діаметрів цього кола і прямі, що містять діаметри даного кола);

ї)пряма(має безліч осей симетрій – ці точки належать цій прямій)?

к) правильний тетраедр(має три вісі симетрій – це прямі, що проходять через  середини  протилежних ребер  тетраедра, які мимобіжні і взаємно перпендикулярні);

л)площина(має безліч осей симетрій – це прямі, що належать цій площині, а також  прямі, що перпендикулярні до площини);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (має три вісі симетрій  – це спільний перпендикуляр до двох прямих і дві прямі, що належать двом бісектрисам  кутів між даними прямими);

н) правильний трикутник(має три вісі  симетрії – це прямі, що проходять через вершину та середину протилежної сторони трикутника);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має безліч осей симетрії  - це прямі, що  перпендикулярні до осі циліндра і проходять через середину осі циліндра).

3. Скількома площинами симетрій  у просторі володіє:

а) відрізок (має безліч площин  симетрій – це площина, що перпендикулярни до  середини відрізка та площини, що містять повністю в собі усі точки відрізка);

б) півплощина ( має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до  межі півплощини і площина  три точки якої належать до даної півплощини);

в) двогранний кут (має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до  ребра  двогранного кута  і бісектральна площина  двогранного кута, яка  ділить навпіл лінійний кут  двогранного кута);

г) три взаємно перпендикулярні  прямі, що перетинаються в одній точці (мають дев’ять  осей симетрій – це три дані площини, що містять пару даних прямих і ще шість бісектральних площин, що проходять через бісектриси кутів між двоми довільними даними прямими і повністю містять в собі тільки одну з даних прямих);

д) прямий  паралелепіпед (має три  площини симетрій – це три площини, що проходять через точку перетину діагоналей паралелепіпеда  і перпендикулярні до протилежних граней);

е) дві паралельні прямі (мають безліч площин симетрій – це усі  площини, що перпендикулярні   до  двох паралельних прямих, і площина, що паралельна двом даним прямим і перпендикулярна до  спільних перпендикулярів  іі  проходить через середини  перпендикулярів до двох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі , кут між якими прямий (маютьдві площини симетрій  – це дві площини, що містять спільний перпендикуляр і  повністю містять тільки одну з двох мимобіжних прямих);

ж)куб ( має дев’ять площин  симетрій - шість площин,  що являються діагональними перерізами куба і ще три площини,  які проходять через чотири центри протилежних граней куба);

з)паралелограм (має одну площину симетрії  – це площина, що містить паралелограм);

і) коло(має безліч площин  симетрій  – це площини, що перпендикулярні до площини кола і проходять в точці  перетину  діаметрів цього кола і ще площина, що повність містить в собі дане коло);

ї)пряма(має безліч площин симетрій – це площини,  що перетинають дану  пряму під  прямим кутом);

к) правильний тетраедр(має три площини  симетрій – це площини, кожна з яких повністю містить тільки одну висоту правильного трикутника, що лежить в основі тетраедра і  кожна з яких при цьому перпендикулярна до площини основи  тетраедра);

л)площина(має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до даної площини і сама ця площина самосиметрична);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (мають три площини  симетрій  – це дві площини, що повністю містять спільний перпендикуляр до двох прямихв точці їх перетину, і  повністю містять одну із бісектрис кутів між даними прямими,  а також площина, що проходить через дві дані прямі);

н) правильний трикутник(має чотири площини  симетрій  – це три площини, що повністю містять спільний перпендикуляр до двох висот даного трикутника, який проведений в точці їх перетину, і  повністю містять одну із висот даного трикутника,  а також площина, що проходить через дві дані прямі);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має безліч площин симетрії  - це площини, що  перпендикулярні до основ циліндра і проходять через вісь циліндра, а також площина, що перпендикулярна осі і проходить через  середину вісі циліндра).

4. Яка фігура симетрична сама собі?(точка, пряма, площина)

5. Скільки спільних центрів симетрій може мати:

А) пряма і площина, що перетинаються(має один центр симетрії, це точка їх перетину)

Б)пряма, що належить площині(має безліч  центрів симетрій)

В)пряма і площина, що не перетинаються(не має центру симетрії)

6. Чи може обмежене тіло (фігура) мати тільки два центри симетрії? (не існує фігури, яка має тільки два центра симетрії)

7. Чи можна вважати, що будь-які  два відрізки центрально-симетричні?(не завжди два відрізки мають центр симетрії)

8. Якій умові повинні задовольняти два промені, якщо один з них можна отримати із другого за допомогою центральної симетрії?(дані  промені перетинаються)

9. При якій умові умові обмежена кількість паралельних прямих  матиме усі види симетрій?(паралельні прямі розташовані  в одній площині на однаковій відстані одна від одної).

10. Чи може бути центральною симетрією:

А)композиція двох центральних симетрій;(ні)

Б)композиція двох паралельних переносів;(ні)

В) композиція двох поворотів?(не завжди).

Рекомендована література

Базова

1. Александров А.Д. Основания геометрии: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 288 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч 2. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: “Просвещение”, 1987. – 352 с.

3. Боровик В.Н., Яковець В.П. Курс вищої геометрії: Навчальний посібник. – Суми: ВТД «Університетська книга», 2004. – 464 с.

4. Боровик В.Н., Яковець В.П. Основи геометрії: Навч. посіб. для студ. фіз.-матем. ф-ту. – Ніжин: ВДПУ, 2000. – 186 с.

5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учеб.пособие. – М.: Физматгиз, 1961. – 528 с.

6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, 2, М.:Мир, 1972. – 146 с.

7. Розв’язування геометричних задач методом векторів. Методичні рекомендації / [Укладачі: Тютюн Л.А., Утямишева О.А.]. – Вінниця, 2011. – 48 с.

8. Розв’язування геометричних задач методом паралельного перенесення. Методичні рекомендації / [Укладачі: Тютюн Л.А., Хапіцька М.І.]. – Вінниця, 2011. – 70 с.

9. Сборник задач по геометрии. Под ред. В.Т. Базылева. – М.: “Просвещение”, 1980. – 238 с.

10. Трохименко В.С. Збірник задач з основ геометрії. – [Електронний ресурс]. – Сайт Валентина Степановича Трохименка. – Режим доступу: https://sites.google.com/site/vstrokhimenko/ .

11. Трохименко В.С. Конспект лекцій з основ геометрії. – [Електронний ресурс]. – Сайт Валентина Степановича Трохименка. – Режим доступу: https://sites.google.com/site/vstrokhimenko/ .

Допоміжна

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия, М.: Наука, 1990.

2. Атанасян Л.С., Гуревич Г.В. Геометрия, ч.2, М.: Просвещение, 1973

3. Базылев В.Г., Дуничев К.И. Геометрия, Ч.2, М.: Просвещение, 1975.

4. Ляпин Е.С. Полугруппы, М.: Физматгиз, 1960.

5. Погорєлов А.В. Геометрия, М.: Наука, 1983.

6. Сборник задач по геометрии под редакцией Атанасяна Л.С., Ч.2, – М.: “Просвещение”, 1975.

7. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. – М.: “Просвещение”, 1968

8. Schein B.M. Difference semigroups, Communications in Algebra, 1992, 20(8), 2153 – 2169.