Аксіоми стереометрії.

Аксіоми стереометрії

I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, й тільки одну.
II. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.
III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює . Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної дов­жи­ни, й тільки один.
VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти в задану півплощину кут із даною градусною мірою, меншою за , і тільки один.
VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині в заданому розміщені відносно даної півпрямої у цій площині.
IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.
До цих аксіом додаються три аксіоми ­групи С.
. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.
. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, й до того ж тільки одну.
Теорема 1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину, й до того ж тільки одну.
Теорема 2. Через пряму можна провести дві різні площини (див. рисунок).

Теорема 3. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
Отже, можливі три варіанти взаємного розміщення прямої і площини в просторі.
1. Пряма лежить у площині (рисунок зліва).
2. Пряма перетинає площину в даній точці (рисунок справа).

3. Пряма не перетинає площину (див. рисунок). У даному випадку пряма а називається паралельною площині.

Теорема 4. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, й до того ж тільки одну.
Для розв’язання задач можуть бути корисними такі твердження.
1. Якщо дві різні прямі перетинаються у деякій точці (рисунок нижче зліва), то всі прямі, які перетинають обидві дані прямі й не проходять через цю точку, лежать в одній площині.
2. Усі прямі, які перетинають дану пряму й проходять через дану точку поза прямою, лежать в одній площині (рисунок справа).

Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах  і  (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.

Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

ПАРАЛЕЛЬНІ ПРОЕКЦІЇ ФІГУР НА ПЛОЩИНУ

Ознака паралельності прямих

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).

Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

На рисунку: ; ; ; a і b — мимобіжні; .
Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).
На рисунку .

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині  може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини  і  не будуть паралельними.

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).

Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.

Cиметрія у просторі

Cиметрія у просторі

1. Скількома центрами симетрій у просторі володіє:

а) відрізок(має один центр симетрій – це точка, що є серединою відрізка);

б) півплощина (немає центру симетрії);

в) двогранний кут (немає центру симетрії);

г) три взаємно перпендикулярні  прямі, що перетинаються в одній точці (один центр симетрії – це точка перетину трьох прямих);

д) похилий паралелепіпед (один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі паралелепіпеда);

е) дві паралельні прямі (має безліч центрів симетрій  – це точки, що лежать на середині перпендикулярів до обох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі (немає центру симетрії).

ж)куб(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі куба);

з)паралелограм(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діагоналі паралелограма);

і) коло(має один центр симетрії – це точка, що є серединою діаметра кола);

ї)пряма(має безліч центрів симетрій  – ці точки належать цій прямій)?

к) правильний тетраедр(не має центру симетрії);

л)площина(має безліч центрів симетрій – це точки, що належать цій площині);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (має один центр симетрії – це спільна точка двох прямих);

н) правильний трикутник(не має центру  симетрії);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має один центр симетрії  - це точка перетину діагоналей осьового перерізу).

2. Скількома осями симетрій  у просторі володіє:

а) відрізок (має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до  середини відрізка і пряма, що містить цей відрізок);

б) півплощина ( має безліч осей симетрій – це прямі, що перпендикулярні до  межі півлощини і дві точки цієї прямої належать до даної півплощини);

в) двогранний кут (має безліч осей симетрій  – це прямі, що перпендикулярні до  ребра  двогранного кута  і ділять навпіл лінійний кут  з вершиною  у точці перетину прямої з ребром двогранного кута);

г) три взаємно перпендикулярні  прямі, що перетинаються в одній точці (дев’ять  осей симетрій – це три дані прямі і ще шість прямих, що проходять через бісектриси кутів між двоми довільними даними прямими);

д) прямий  паралелепіпед (три  вісі  симетрій  – це три дані прямі, що проходять через точку перетину діагоналей паралелепіпеда  і перпендикулярні до протилежних граней);

е) дві паралельні прямі (має безліч осей симетрій  – це прямі, що перпендикулярні   до  усіх спільних перпендикулярів  і  проходять через середини  перпендикулярів до обох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі (має одну вісь  симетрії – це пряма, що містить спільний перпендикуляр до двох мимобіжних прямих );

ж)куб ( має дев’ять осей симетрій - шість прямих,  що являються діагоналями трьох різних  серединних перерізів, тобто квадратів, протилежні вершини яких лежать на серединах протилежних ребер  куба(кожна така площина перерізу куба  розрізає куб на дві рівні частини) і  ще три осі проходять через центри протилежних граней куба);

з)паралелограм(має одну вісь симетрії – це пряма, що перпендикулярна до площини паралелограма в точці  перетину  діагоналей паралелограма);

і) коло(має безліч  осей симетрій – це пряма, що перпендикулярна до площини кола в точці  перетину  діаметрів цього кола і прямі, що містять діаметри даного кола);

ї)пряма(має безліч осей симетрій – ці точки належать цій прямій)?

к) правильний тетраедр(має три вісі симетрій – це прямі, що проходять через  середини  протилежних ребер  тетраедра, які мимобіжні і взаємно перпендикулярні);

л)площина(має безліч осей симетрій – це прямі, що належать цій площині, а також  прямі, що перпендикулярні до площини);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (має три вісі симетрій  – це спільний перпендикуляр до двох прямих і дві прямі, що належать двом бісектрисам  кутів між даними прямими);

н) правильний трикутник(має три вісі  симетрії – це прямі, що проходять через вершину та середину протилежної сторони трикутника);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має безліч осей симетрії  - це прямі, що  перпендикулярні до осі циліндра і проходять через середину осі циліндра).

3. Скількома площинами симетрій  у просторі володіє:

а) відрізок (має безліч площин  симетрій – це площина, що перпендикулярни до  середини відрізка та площини, що містять повністю в собі усі точки відрізка);

б) півплощина ( має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до  межі півплощини і площина  три точки якої належать до даної півплощини);

в) двогранний кут (має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до  ребра  двогранного кута  і бісектральна площина  двогранного кута, яка  ділить навпіл лінійний кут  двогранного кута);

г) три взаємно перпендикулярні  прямі, що перетинаються в одній точці (мають дев’ять  осей симетрій – це три дані площини, що містять пару даних прямих і ще шість бісектральних площин, що проходять через бісектриси кутів між двоми довільними даними прямими і повністю містять в собі тільки одну з даних прямих);

д) прямий  паралелепіпед (має три  площини симетрій – це три площини, що проходять через точку перетину діагоналей паралелепіпеда  і перпендикулярні до протилежних граней);

е) дві паралельні прямі (мають безліч площин симетрій – це усі  площини, що перпендикулярні   до  двох паралельних прямих, і площина, що паралельна двом даним прямим і перпендикулярна до  спільних перпендикулярів  іі  проходить через середини  перпендикулярів до двох паралельних прямих);

є) дві мимобіжні прямі , кут між якими прямий (маютьдві площини симетрій  – це дві площини, що містять спільний перпендикуляр і  повністю містять тільки одну з двох мимобіжних прямих);

ж)куб ( має дев’ять площин  симетрій - шість площин,  що являються діагональними перерізами куба і ще три площини,  які проходять через чотири центри протилежних граней куба);

з)паралелограм (має одну площину симетрії  – це площина, що містить паралелограм);

і) коло(має безліч площин  симетрій  – це площини, що перпендикулярні до площини кола і проходять в точці  перетину  діаметрів цього кола і ще площина, що повність містить в собі дане коло);

ї)пряма(має безліч площин симетрій – це площини,  що перетинають дану  пряму під  прямим кутом);

к) правильний тетраедр(має три площини  симетрій – це площини, кожна з яких повністю містить тільки одну висоту правильного трикутника, що лежить в основі тетраедра і  кожна з яких при цьому перпендикулярна до площини основи  тетраедра);

л)площина(має безліч площин симетрій – це площини, що перпендикулярні до даної площини і сама ця площина самосиметрична);

м) дві прямі, що перетинаються в одній точці (мають три площини  симетрій  – це дві площини, що повністю містять спільний перпендикуляр до двох прямихв точці їх перетину, і  повністю містять одну із бісектрис кутів між даними прямими,  а також площина, що проходить через дві дані прямі);

н) правильний трикутник(має чотири площини  симетрій  – це три площини, що повністю містять спільний перпендикуляр до двох висот даного трикутника, який проведений в точці їх перетину, і  повністю містять одну із висот даного трикутника,  а також площина, що проходить через дві дані прямі);

о)рівносторонній циліндр, осьовий переріз якого квадрат (має безліч площин симетрії  - це площини, що  перпендикулярні до основ циліндра і проходять через вісь циліндра, а також площина, що перпендикулярна осі і проходить через  середину вісі циліндра).

4. Яка фігура симетрична сама собі?(точка, пряма, площина)

5. Скільки спільних центрів симетрій може мати:

А) пряма і площина, що перетинаються(має один центр симетрії, це точка їх перетину)

Б)пряма, що належить площині(має безліч  центрів симетрій)

В)пряма і площина, що не перетинаються(не має центру симетрії)

6. Чи може обмежене тіло (фігура) мати тільки два центри симетрії? (не існує фігури, яка має тільки два центра симетрії)

7. Чи можна вважати, що будь-які  два відрізки центрально-симетричні?(не завжди два відрізки мають центр симетрії)

8. Якій умові повинні задовольняти два промені, якщо один з них можна отримати із другого за допомогою центральної симетрії?(дані  промені перетинаються)

9. При якій умові умові обмежена кількість паралельних прямих  матиме усі види симетрій?(паралельні прямі розташовані  в одній площині на однаковій відстані одна від одної).

10. Чи може бути центральною симетрією:

А)композиція двох центральних симетрій;(ні)

Б)композиція двох паралельних переносів;(ні)

В) композиція двох поворотів?(не завжди).

Рекомендована література

Базова

1. Александров А.Д. Основания геометрии: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 288 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч 2. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: “Просвещение”, 1987. – 352 с.

3. Боровик В.Н., Яковець В.П. Курс вищої геометрії: Навчальний посібник. – Суми: ВТД «Університетська книга», 2004. – 464 с.

4. Боровик В.Н., Яковець В.П. Основи геометрії: Навч. посіб. для студ. фіз.-матем. ф-ту. – Ніжин: ВДПУ, 2000. – 186 с.

5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учеб.пособие. – М.: Физматгиз, 1961. – 528 с.

6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, 2, М.:Мир, 1972. – 146 с.

7. Розв’язування геометричних задач методом векторів. Методичні рекомендації / [Укладачі: Тютюн Л.А., Утямишева О.А.]. – Вінниця, 2011. – 48 с.

8. Розв’язування геометричних задач методом паралельного перенесення. Методичні рекомендації / [Укладачі: Тютюн Л.А., Хапіцька М.І.]. – Вінниця, 2011. – 70 с.

9. Сборник задач по геометрии. Под ред. В.Т. Базылева. – М.: “Просвещение”, 1980. – 238 с.

10. Трохименко В.С. Збірник задач з основ геометрії. – [Електронний ресурс]. – Сайт Валентина Степановича Трохименка. – Режим доступу: https://sites.google.com/site/vstrokhimenko/ .

11. Трохименко В.С. Конспект лекцій з основ геометрії. – [Електронний ресурс]. – Сайт Валентина Степановича Трохименка. – Режим доступу: https://sites.google.com/site/vstrokhimenko/ .

Допоміжна

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия, М.: Наука, 1990.

2. Атанасян Л.С., Гуревич Г.В. Геометрия, ч.2, М.: Просвещение, 1973

3. Базылев В.Г., Дуничев К.И. Геометрия, Ч.2, М.: Просвещение, 1975.

4. Ляпин Е.С. Полугруппы, М.: Физматгиз, 1960.

5. Погорєлов А.В. Геометрия, М.: Наука, 1983.

6. Сборник задач по геометрии под редакцией Атанасяна Л.С., Ч.2, – М.: “Просвещение”, 1975.

7. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. – М.: “Просвещение”, 1968

8. Schein B.M. Difference semigroups, Communications in Algebra, 1992, 20(8), 2153 – 2169.