Повторення. Перпендикулярність у просторі.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ У ПРОСТОРІ

Означення. Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними.

Позначення перпендикулярності: а^b або Ð(b; а) = 90^о .

Ознака перпендикулярності двох прямих. Якщо дві прямі, що перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Означення. Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка  лежить в даній площині.

Позначення перпендикулярності: а^α або Ð(α; а) = 90^о  βδjγ

Позначення паралельності: а||α  або Ð(α; а) = 0^о  

Ознака перпендикулярності прямої і площини. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Властивості перпендикулярності прямої і площини

Властивість. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до другої.

Властивість. Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні між собою.

Властивість. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, то вона перпендикулярна до другої.

Властивість. Дві різні площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні між собою.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР І ПОХИЛА У ПРОСТОРІ

Означення. Відрізок, що перетинає площину, і лежить на перпендикулярній до площини прямій називається перпендикуляром до цієї площини. Основа перпендикуляра до площини – це точка, яка належить і площині і перпендикуляру одночасно.

Означення. Відрізок, що має один кінець на площині, а інший кінець на перпендикулярі, і повністю не лежить у цій площині і не лежить на перпендикулярі називається похилою до цієї площини. Основа похилої до площини – це точка, яка належить і площині і похилій одночасно.

Означення. Відрізок, що має один кінець в основі перпендикуляра,  на площині, а інший кінець в основі похилої, і повністю лежить у цій площині називається проекцією похилої на цю площину.

Властивості проекцій і похилих.

Властивість. Перпендикуляр коротший за похилу.

Властивість. Проекція коротша за похилу.

 Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то рівні похилі мають рівні проекції.

Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то  якщо проекції похилих рівні, то рівні похилі.

Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то більша  похила має більшу проекцію.

Властивість. Якщо із однієї точки до однієї площини проведено дві похилі, то з двох похилих більша  та, у якої більша проекція.

ТЕОРЕМА про три перпендикуляри. Якщо пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої на цю площину, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ДВОХ  ПЛОЩИН

Означення. Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина перпендикулярна прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих

Позначення перпендикулярності: β^α або Ð(α; β) = 90^о  

Позначення паралельності: β||α  або Ð(α; β) = 0^о  

Ознака перпендикулярності двох площин. Якщо площина проходить через пряму перпендикулярну до другої площини, то площини перпендикулярні.

Властивості перпендикулярності двох площин

Властивість. Якщо пряма, що лежить в одній із двох площин,  перпендикулярна до лінії перетину цих площин, то вона перпендикулярна до другої.

Тест початкового рівня знань

1.  Взаємне розташування  прямих на площині:

а) перетинаються, мимобіжні

б) мимобіжні, паралельні

в) перетинаються, не перетинаються

г) перетинаються , паралельні

2. Одну і тільки одну пряму можна провести через:

а) будь які дві точки площини

б) будь які три точки площини

в) будь яку точку площини

г) будь яку вершину кута

3. Площину, до того ж єдину, можна провести

а) через  будь-які три точки

б) через будь-які чотири точки

в) через будь-які три точки на прямій

г) через три точки,що не лежать на одній прямій

4. Якщо дві площини мають спільну точку, то :

а) вони дотикаються одна до одної

б) вони співпадають

в) вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку

г) вони мають кілька спільних прямих, що проходять через цю точку

5. Якщо пряма паралельна площині, то:

а) вона не перетинає жодної прямої в площині

б) паралельна будь-якій прямій в площині

в) паралельна деяким  прямим в площині

г) лежить в площині

6. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то

а) вона паралельна другій прямій

б) вона співпадає з другою прямою

в) вона перетинає другу пряму

7. Якщо деяка пряма паралельна одній з двох паралельних площин, то:

а) вона перетинає другу площину

б) вона паралельна другій площині

в) вона лежить в другій площині

8. Якщо дві прямі, що перетинаються в одній площині, відповідно паралельні двом прямим іншої площини,  то ці площини

а) перетинаються

б) паралельні

в) співпадають

Варіант 1. БЛОК навчальних завдань. 10 клас.

1. а) Відрізок довжиною 25 см спирається кінцями на дві перпен­дикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площин дорівнюють 15 і 16 см. Обчислити проекції відрізка на кожну з площин.

б) Відрізок довжиною 25 см спирається кінцями на дві перпенди­кулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють (369)^0,5   і 20 см. Обчислити відстань від кінців відрізка до даних площин.

2. а) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну з площин відповідно дорівнюють (369)^0,5   і 20 см. Відстань між основами перпендикулярів,  проведених з кінців відрізка до площин - 12 см. Обчислити довжину даного відрізка.

б) З кінців відрізка, що лежать на двох перпендикулярних площи­нах, проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких відповідно дорівнюють 16 і 15 см. Відстань між основами цих перпен­дикулярів дорівнює 12 см. Обчислити довжину даного відрізка.

3. а) Кінці відрізка довжиною 25 см лежать на двох перпендику­лярних площинах. Проекція цього відрізка на одну з площин дорівнює (369)^0,5   см, а відстань від кінця, що належить цій площині, до другої площини дорівнює 15 см. Обчислити проекцію відрізка на другу площину та відстань від другого кінця відрізка до першої площини.

б) Кінці відрізка лежать на двох перпендикулярних площинах. Проекція цього відрізка на одну із площин дорівнює 20 см, а довжина перпендикуляра, проведеного з кінця відрізка до цієї площини, дорів­нює 15 см. Відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до даних площин, дорівнює 12 см. Обчислити довжину відрізка та другого перпендикуляра.

4. а) Точка віддалена на 12 і 5 см від двох перпендикулярних площин. Обчислити відстань від цієї точки до прямої перетину площин.

б) Точка віддалена на 16 см від однієї з двох перпендикулярних площин. Відстань від цієї точки до прямої перетину площин становить 20 см. Обчислити відстань від даної точки до другої площини.

5. а) Кожна з двох перпендикулярних площин містить пряму, па­ралельну до лінії їх перетину. Відстані від цих прямих до лінії перети­ну площин 5 і 12 см. Обчислити відстань між даними прямими.

б) Дві прямі, відстань між якими 17 см, належать двом перпенди­кулярним площинам і паралельні лінії їх перетину. Відстань від однієї з прямих до лінії перетину площин дорівнює 8 см. Обчислити відстань від другої прямої до цієї лінії.

6. а) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці цього відрізка віддалені від прямої перетину площин на 7 і 10 см. Перший кінець відрізка віддалений на 25 см від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин. Обчислити відстані, від другого кінця і від середини відрізка до цієї прямої.

б) Відрізок лежить в одній з двох перпендикулярних площин і не пе­ретинає іншу. Кінці відрізка віддалені від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину цих площин, на 25 і 26 см. Перший кінець відрізка віддалений від прямої перетину площин на 7 см. Обчисли­ти відстані від другого кінця і від середини відрізка до прямої перетину площин.

7. а) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці відрізка віддалені від прямої перетину цих площин на 18 і 10 см, а від прямої, яка лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин - на відстані, що відносяться як 15:13. Обчислити ці відстані та відстань від середини відрізка до за­даної прямої.

б) Відрізок належить одній з двох перпендикулярних площин і не перетинає іншу. Кінці цього відрізка віддалені на 30 і 26 см від пря­мої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину пло­щин. Ці ж кінці віддалені від прямої перетину площин на відстані, що відносяться як 9:5. Обчислити ці відстані і відстань від середини відрізка до прямої перетину площин.

8. а) З точки до площини правильного трикутника зі стороною 8(3)^0,5 см проведено перпендикуляр завдовжки 5 см. Основою перпен­дикуляра є одна з вершин трикутника. Обчислити відстань від точки до сторони трикутника, яка не містить основи перпендикуляра.

б) З точки до площини правильного трикутника проведено пер­пендикуляр довжиною (69)^0,5 см. Основою перпендикуляра є одна з вершин трикутника. Відстань від точки до сторони трикутника, що не містить основи перпендикуляра, дорівнює 12 см. Обчислити відстані від даної точки до вершин трикутника.

9. а) З точки до площини рівнобедреного трикутника, основа і бічна сторона якого відповідно дорівнюють 30 і 20 см, проведено перпендикуляр довжиною 15 см. Основа цього перпендикуляра співпадає з вершиною трикутника, протилежною до його основи.
Обчислити відстань від цієї точки до основи трикутника.

б) З точки до площини рівнобедреного трикутника проведено перпендикуляр   довжиною    15 см.   Основа   цього   перпендикуляра співпадає з вершиною кута, протилежного до основи трикутника. Відстані від даної точки до основи та до її кінців відповідно дорів­нюють 20 і 25 см. Обчислити сторони трикутника.

10. а) З точки простору до площини прямокутного трикутника, гіпотенуза і катет якого відповідно дорівнюють 9 і 5 см, проведено перпендикуляр довжиною   12 см. Основа цього перпендикуляра вершина гострого кута, прилеглого до даного катета Обчислити відстань від даної точки до другого катета та до його кінців.

б) З точки до площини прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 15 і 20 см, проведено перпендикуляр довжиною 16 см. Основою перпендикуляра є вершина прямого кута. Обчислити відстань від даної точки до гіпотенузи.

11. а) З точки до площини, трикутника, сторони якого дорівнюють 13, 14 і 15 см, проведено перпендикуляр довжиною їй см. Основою цього перпендикуляра є вершина кута, що лежить проти сторони завдовжки 14 см. Обчислити відстань від даної точки до цієї сторони.

б) З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 29, 25 і 6 см, проведено перпендикуляр з основою у вершині кута, протилежного до найменшої сторони трикутника. Відстань від даної точки до прямої, що містить цю сторону, дорівнює 25 см. Обчислити відстань від точки до площини трикутника.

12. а) З точки до площини квадрата, сторона якого дорівнює 12 см, проведено перпендикуляр довжиною (112)^0,5  см. Основа цього перпендикуляра - вершина квадрата. Обчислити відстані від даної точки до інших вершин квадрата.

б) З точки до площини квадрата проведено перпендикуляр, осно­ва якого є однією з вершин квадрата. Відстані від даної точки до двох інших послідовних вершин квадрата дорівнюють (17)^0,5  і 5 см. Обчис­лити відстань від даної точки до площини квадрата.

13.  а) З точки до площини прямокутника зі сторонами 9 і 12 см, проведено перпендикуляр, основою якого є одна з вершин прямокут­ника. Відстань від  протилежної вершини прямокутника до цієї точки дорівнює 39 см. Обчистити відстань від даної точки до площини прямокутника.

б) З точки до площини прямокутника зі сторонами 6 і 8 см, про­ведено перпендикуляр довжиною 24 см. Основа перпендикуляра — вершина одного з кутів прямокутника. Обчислити відстань від даної точки до протилежної вершини прямокутника.

14.  а) З точки до площини ромба зі стороною 5 см і меншою діагоналлю 6 см проведемо перпендикуляр з основою у вершині гострого кута ромба. Відстань від даної точки до протилежної вершини ромба дорівнює 17 см. Обчислити відстань від точки до площини ромба.

б) З точки до площини ромба зі стороною 13 см і більшою діаго­наллю 24 см, проведено перпендикуляр довжиною 24 см. Основа перпендикуляра співпадає з вершиною тупого кута ромба. Обчислити відстань від даної точки до протилежної вершини ромба.

15. а) З точки до площини рівнобічної трапеції, менша основа якої дорівнює 5 см, висота 4 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведено перпендикуляр довжиною 8 см. Основа перпендику­ляра - вершина тупого кута трапеції,. Обчислити відстань від цієї точки до вершини протилежного гострого кута трапеції.

б) З точки до площини рівнобічної трапеції, більша основа якої дорівнює 13 см, висота 12 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута, про­ведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра - вершина гострого ку­та трапеції. Відстань від даної точки до вершини протилежного тупого кута - 4(22)^0,5  см. Обчислити відстань від точки до площини трапеції.

16. а) З точки до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 13 см, висота 12 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута, проведено перпендикуляр довжиною 8(3)^0,5   см. Основа перпенди­куляра - вершина тупого кута трапеції. Обчислити відстань від да­ної точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

б) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 5 см, висота 4 см, а діагональ є бісектрисою гострого кута, проведено перпендикуляр, довжина якого 8 см. Основа перпендику­ляра - вершина гострого кута трапеції. Обчислити відстань від цієї точки до вершини протилежного прямого кута трапеції.

17.  а) З точки до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 24 см, бічна сторона 25 см, а більша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр довжиною 7(15)^0,5  см. Основа перпендикуляра - вершина тупого кута трапеції. Обчислити відстань від даної точки до вершини протилежного прямого кута.

б) З точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 20 см, бічна сторона 25 см, а менша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра ‒ вершина гострого кута трапеції. Відстань від даної точки до вершини протилежного прямого кута трапеції дорівнює 45 см. Обчислити відстань від цієї точки до площини трапеції.

Тематична атестація

Тема: Перпендикулярність  у просторі

                                   Контрольна робота

№ завдання	1	2	3	4
Кількість балів	2	2	4	4

       

                                          Варіант 1

1.    З точок A і B, що лежать в двох перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри AC і BD до лінії перетину площин. Обчислити довжину відрізка CD, якщо AB = 54^0,5  см, CB = 13^0,5  см, AD= 3(5)^0,5 см.

2.    Площини a і b перпендикулярні. Рівнобедрений прямокутний трикутник АВС лежить у площині так, що гіпотенуза АВ належить прямій перетину площин. Пряма В лежить у площині b, паралельна прямій перетину і віддалена від неї на 3см . Обчислити відстань від точки С до прямої В, якщо АС=4(2)^0,5 см .

3.    Квадрат АВСD і прямокутник АВСD розміщені у перпендикулярних площинах. М – середина сторони D і С . Знайти довжину відрізка СМ, якщо АВ= с, ВС= b.

4.    Через вершину В тупого кута ромба АВСD проведена пряма ВМ перпендикулярно до його площини. Обчислити відстань між прямими ВМ і АD, якщо гострий кут ромба дорівнює 45°, а його сторона – 10см.

Підсумкова контрольна робота за 10 клас

Геометрія. Підсумкова контрольна робота 10 клас.

Варіант  1

1.Вказати неправильне твердження:

а) Через дві прямі, що перетинаються, можна провести одну і тільки одну площину.

б) Пряма, що перетинає коло в двох точках, лежить у площині цього кола.

в) Якщо пряма а паралельна площині α, то через неї можна провести одну і тільки одну площину, паралельну α.

г) Якщо прямі лежать у двох паралельних площинах, то вони паралельні.

2.  АК – перпендикуляр до площини прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С.  Який з кутів не є прямим:

          а)КАС,  б) КСВ, в) КВС, г) КАВ?

3.  Обчислити відстань між точками А (1;7;9) і В (4;3;-3).

       а) (161)^0,5; б) 13; в) 14; г) 12.

4. Точки А, В, С  і D не лежать  в одній площині. Чи перетинаються прямі АВ і СD? Відповідь  обґрунтувати.

5. Точка А знаходиться на відстані 13 см від кожної сторони квадрата. Знайти відстань від точки А до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.

     а) (69)^0,5см; б) 6 см; в) 8 см; г) 12 см.

6.  Через сторону АВ рівностороннього трикутника АВС проведено площину α, яка утворює з площиною трикутника кут 60°. Обчислити відстань від вершини С  до площини α,  якщо висота трикутника дорівнює 10(3)^0,5.

      а) 5(3)^0,5; б) 10(3)^0,5; в) 15 см; г) 30 см.

7. Два промені з початком у точці О перетинають одну з паралельних площин у точках А₁ і В₁, а другу – у точках А₂ і В₂. А₁В₁=7см, А₂В₂=21см, В₁В₂=16см. Знайти довжину відрізка ОВ₁. 

ЗРАЗКИ ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ.

Завдання з вибором однієї правильної відповіді.

Завдання 1-60 мають по п’ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний.

1. Які з наведених тверджень правильні?

I. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать дій площині.

II. Якщо дві вершини трапеції належать площині, то всі точки цієї трапеції належать площині.

III. Якщо три вершини квадрата належать площині, то всі точки цього квадрата належать площині.

2. Задано дві паралельні прямі а і b. Скільки існує різних площин, що проходять через прямуb, паралельну до прямої а?

3. Укажіть усі правильні твердження.

I. Через точку М, що не належить площині а , можна провести лише одну пряму, паралельнуα.

II. Через точку М, що не належить площині а , можна провести лише одну пряму, перпендикулярну α.

III. Через точку М, що не належить площині а , можна провести лише одну площину, паралельну α.

IV. Через точку М, що не належить площині а , можна провести лише одну площину, перпендикулярну α.

4. На малюнку 522 куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює із прямою DС₁ пару мимобіжних прямих.

5. На малюнку 522 прямокутний паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁. Укажіть серед поданих нижче площину, яка не є перпендикулярною до площини АА₁D.

6. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб (мал. 522). Знайти кут між мимобіжними прямими ВС і DС₁.

7. АВСDА₁В₁С₁D₁ - прямокутний паралелепіпед (мал. 522). АD = 4 см, DС = 3 см, DD₁ = 2 см. Знайти відстань від прямої DD₁ до площини АА₁С₁.

8. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб (мал. 522) з ребром 4 см. Знайти відстань від точки А до площини ВВ₁D.

9. Лінійний кут двогранного кута дорівнює третій частині розгорнутого кута. Чому дорівнює градусна міра двогранного кута?

10. Скільки граней у дванадцятикутній призмі?

11. Скільки ребер має вісімнадцятикутна піраміда?

12. Кут між будь-якими сусідніми бічними ребрами правильної піраміди дорівнює 90º. Який многокутник може бути основою піраміди?

13. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда відповідно дорівнюють 6 см², 8 см² і 12 см². Знайти площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда.

14. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює 20 см². Периметр основи призми дорівнює 8 см. Знайти висоту призми.

15. Площа повної поверхні куба дорівнює 54 см². Знайти об’єм куба.

16. Знайти площу діагонального перерізу куба, ребро якого дорівнює 1 см.

17. У кубі АВСDА₁В₁С₁D₁ точка N - середина ребра NN₁ (мал. 523). Через пряму А₁В₁ і точку N проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см.

18. Знайти довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеді, виміри якого дорівнюють 1 см, 2 см, 3 см.

19. Периметр бічної грані правильної трикутної призми дорівнює 24 см. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо сторона основи дорівнює 3 см.

20. Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 3 см, а довжина - 6 см. Знайти висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо вона на 5 см коротша за діагональ.

21. Знайти площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди сторона основи якої дорівнює 6 см, а анофема - 8 см.

22. Скільки сторін має многокутник, що лежить в основі призми, якщо вона має 36 ребер.

23. Висота похилої призми удвічі коротша за бічне ребро. Який кут утворює висота призми із цим бічним ребром?

24. Сторони основи паралелепіпеда дорівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними 60°. Знайти площу діагонального перерізу паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 10 см.

25. Основою прямого паралелепіпеді є ромб зі стороною 2 см і тупим кутом 120°. Менша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайти висоту паралелепіпеда.

26. Площа основи чотирикутної піраміди дорівнює 16 см², а площа однієї бічної грані 12 см². Знайти апофему піраміди.

27. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 4 см, а висота – 5 см. Знайти площу перерізу піраміди, що проходить через її висоту і бічне ребро.

28. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює кут 30° із площиною основи. Знайти сторону основи піраміди.

29. Діагональ куба дорівнює 2 см. Знайти площу його повної поверхні.

30. Об’єм правильної чотирикутної призми дорівнює 80 см³, а її висота дорівнює 5 см. Знайти довжину сторони основи призми.

31. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 2л/з" см і 4 см і утворюють кут 60°. Знайти об’єм паралелепіпеда, якщо його бічне ребро дорівнює 5 см.

32. Сторони основи прямокутного паралелепіпеді дорівнюють 3 см і 4 см, а діагональ більшої за площею бічної грані дорівнює 5 см. Знайти об’єм паралелепіпеда.

33. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює 6 см, а її об’єм - 54 см³. Знайти висоту призми.

34. Класні приміщення повинні бути розраховані так, щоб на одного учня було не менше 6 м³повітря. Яку найбільшу кількість учнів можна розмістити у класному приміщені, що має форму прямокутного паралелепіпеда із вимірами 8 м, 4,5 м і 3 м без порушення санітарних норм?

35. У скільки разів об’єм куба із ребром 1 м більший за об’єм куба із ребром 50 см?

36. Прямокутник зі сторонами 4 см і 5 см обертається навколо більшої сторони. Знайти площу діагонального перерізу циліндра.

37. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник діагональ якого дорівнює 12 см. Знайти висоту циліндра, якщо діагональ осьового перерізу нахилена до площини основи під кутом 60°.

38. Висота циліндра удвічі більша за його радіус. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із точкою кола нижньої основи дорівнює 4 см. Знайти висоту циліндра.

39. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 40π см², а площа основи - 16π см². Знайти висоту циліндра.

40. Радіус основи циліндра дорівнює 4 см, а висота - 3 см. Знайти площу повної поверхні циліндра.

41. Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює 36 см. Знайти площу бічної поверхні циліндра, якщо його висота дорівнює 8 см.

42. На малюнку 524 зображено розгортку циліндра. Знайти об’єм циліндра.

43. Знайти об’єм тіла, утвореного оберненням куба навколо свого ребра, довжина якого дорівнює 2 см.

44. Радіус основи конуса дорівнює 2 см, а твірна утворює з висотою кут 45°. Знайти площу осьового перерізу конуса.

45. Діаметр основи конуса у 2 разів більший за його висоту. Знайти градусну міру кута між твірною конуса і площиною його основи.

46. Твірна зрізаного конуса дорівнює 10 см, а діаметри основ 6 см і 18 см. Знайти висоту зрізаного конуса.

47. Діаметр основи конуса дорівнює 4 см і утворює з твірною кут 60º. Знайти площу бічної поверхні конуса.

48. Об’єм циліндра дорівнює 24 см³. Знайти об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота удвічі більша за висоту циліндра.

49. З дерев’яного циліндра виточено конус так, що його основа збігається з однією з основ циліндра, а вершина - з центром іншої основи циліндра (мал. 525). Знайти відношення об’єму сточеної частини циліндра до початкового об’єму циліндра.

50. Сферу, радіус якої дорівнює 10 см перетнуто площиною на відстані 8 см від центра сфери. Знайти довжину лінії по якій площина перетинає сферу.

51. Об’єм кулі дорівнює 36π см³. Знайти її діаметр.

52. Основою прямої призми є ромб зі стороною 8 см і гострим кутом 30º. Знайти площу поверхні сфери, вписаної у цю призму.

53. Знайти відстань від точки М(3;4;-5) до площини ху.

54. Ортогональною проекцією відрізка МN з кінцями в точках М(2;-1;3) і N(-1;-1;3) на площину уz є:

55. Знайти відстань від точки Р(3;4;6) до осі z.

56. На осі ординат знайти точку, відстань від якої до точки В(4;1;8) дорівнює 12.

57. Дано вектори  Яке з тверджень правильне?

58. Знайти вектор 

59. При яких значеннях у і z вектори  колінеарні?

60. При якому значенні m вектори  перпендикулярні?

Завдання на встановлення відповідностей.

У завданнях 1-5 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою.

1. На малюнку 526 зображено прямокутний паралелепіпед АВСDА₁В₁С₁D₁, АВ = 1, АD = 2, АА₁= 2. Установити відповідність між геометричними величинами (1-4) та їхніми числовими значеннями (А-Д).

 

1 Відстань між мимобіжними прямими АА₁ і DС.

2 Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда.

3 Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда.

4 Об’єм прямокутного паралелепіпеда.

А 16.

Б 12.

В 4.

Г 3.

Д 2.

2. На малюнку 526 зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Установити відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами.

1 Кут між прямими ВВ₁ і D₁C.

2 Кут між прямими АС і В₁D₁

3 Кут між прямими АВ₁ і А₁D

4 Кут між прямими АВ і С₁D₁

А 0º

Б 30º

В 45º

Г 60º

Д 90º

3. Установити відповідність між видами многогранника (1-4) та загальною кількістю його ребер.

1 Паралелепіпед.

2 Правильна дванадцятикутна піраміда.

3 Шестикутна призма.

4 Трикутна зрізана піраміда.

А 9

Б 12

В 18

Г 24

Д 30

4. На малюнку 527 зображено правильну чотирикутну піраміду QАВСD, у якої бічне ребро дорівнює 5, а висота - 4. Установити відповідність між геометричними вершинами (1-4) та їхніми числовими значеннями (А-Д).

 

1 Діагональ основи піраміди.

2 Площа основи піраміди.

3 Площа діагонального перерізу піраміди.

4 Об’єм піраміди.

А 24

Б 18

В 16

Г 12

Д 6

5. Дано вектори  Установити відповідність між характеристиками векторів або результатами дій над ними (1-4) та їх чисельними значеннями.

1 Модуль вектора .

2 Модуль вектора  =  - .

3 Скалярний добуток векторів  і .

4 Значення m, при якому вектори  і  перпендикулярні.

А 3

Б 4

В 7

Г 10

Д 13

Завдання з короткою відповіддю.

1. З точки А до площини проведено дві похилі, кожна з яких дорівнює  см. Кут між похилими - 90°, проекції похилих утворюють кут 120°. Знайти (у см) довжини проекцій похилих на площину.

2. Точка М віддалена від кожної з вершин рівнобічної трапеції на 65 см. Бічна сторона трапеції перпендикулярна до її діагоналі. Знайти відстань від точки М до площини трапеції, якщо висота трапеції дорівнює 24 см, а діагональ трапеції - 40 см.

3. З точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах α і β проведено перпендикуляри АК і ВL до прямої перетну площин. АL = 8 см, КВ = 14 см, LК = 2 см. Знайти АВ (у см).

4. Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу завдовжки 20 см. Кут між площинами трикутників дорівнює 60º. Площа одного з трикутників дорівнює 30 см², а висота іншого, яка проведена до основи, дорівнює 5 см. Якою найбільшою (у см) може бути відстань між вершинами трикутників?

5. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює кут 60° із площиною основи. Знайти (у см³) об’єм піраміди.

6. В основі прямої призми, лежить прямокутник, сторони якого відносяться як 1 : 3. Площа бічної поверхні призми дорівнює 48 см², а повної поверхні - 72 см². Знайти (у см) висоту призми.

7. Основою прямого паралелепіпеда є ромб з периметром 20 см і діагоналлю 6 см. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 10 см. Знайти об’єм паралелепіпеда (у см³).

8. Кулю перетнули площиною на відстані 15 см від центру. Площа утвореного перерізу дорівнює 64 п см². Знайти (у см) довжину великого кола сфери, що обмежує дану кулю. У відповідь запишіть величину l/π, де l – довжина кола.

9. На малюнку 528 зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Обчисліть (у см³) об’єм цього куба, якщо об’єм піраміди D₁АDС дорівнює 8 см³.

10. Кімната має форму прямокутного паралелепіпеда. Ширина кімнати - 4 м, довжина - 6 м, висота - 3м. Площа стін кімнати дорівнює 0,75 площі бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда. Скільки фарби (у кг) потрібно для того, щоб повністю пофарбувати стіни цієї кімнати, якщо 1 м² витрачається 0,24 кг фарби?

11. Висота конуса дорівнює 6 см, а радіус основи - 8 см. Знайти відношення площі основи конуса до площі його бічної поверхні.

12 У циліндричній посудині рівень води перебуває на висоті 36 см. На якій висоті (у см) перебуває рівень води, якщо перелити її у циліндричну посудину, радіус якої у 2 рази більший за радіус першої?

13. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 10 см і основами 16 см і 4 см, вписано конус. Всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайти площу поверхні S_біч конуса (у см²). У відповідь запишіть величину S/π.

14. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12. Бічне ребро піраміди нахилене до площини основи під кутом 60°. Обчислити площу S великого круга кулі, описаної навколо піраміди. У відповідь запишіть величину S/π.

15. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Куля, об’єм якої дорівнює (500/3)πсм³ дотикається усіх сторін трикутника. Знайти (у см) відстань від центра кулі до площини трикутника.

16. У правильну трикутну піраміду вписали кулю, радіус якої дорівнює 2 см. Знайти висоту піраміди (у см), якщо вона утворює кут 30° із апофемою.

17. Задано вершини трикутника АВС: А(5;0;3), В(9;2;7), С(11;4;15), К - середина АС, L - середина ВС. Знайти довжину відрізка КL.

18. Знайти (у градусах) кут С трикутника АВС з вершинами у точках А(5;1;8), В(1;9;0), С(3;-1;4).

19. Дано:  Знайти модуль вектора 

20. Кут між векторами  і  дорівнює 120º,  Знайти